Dann ist T−1∈ L(Y, X)

Prof. Dr. Hans-J¨urgen Schmeißer / Henning Kempka UBUNGEN ZUR VORLESUNG H ¨¨ OHERE ANALYSIS II (FUNKTIONALANALYSIS II)

Blatt 2 Sommersemester 2007

Satz von Banach-Steinhaus

SeiX, Y Banachr¨aume und{A_j}^∞_j=1 ⊂ L(X, Y). Dann konvergiert{A_j}punktweise gegen einen Operator A∈ L(X, Y) genau dann, wenn

(i) {||A_j||}ist beschr¨ankt und{A_jx}konvergiert inY f¨ur allex∈X₀, wobeiX₀⊂Xdicht liegt oder (ii) {||A_j||} ist beschr¨ankt und {A_jx} konvergiert inY f¨ur alle x∈X.

Satz vom inversen Operator

Seien X, Y Banachr¨aume undT ∈ L(X, Y) bijektiv. Dann ist T⁻¹∈ L(Y, X).

Der Satz vom abgeschlossenen Graphen – Closed Graph Theorem

Seien X, Y Banachr¨aume und A linear und abgeschlossen von X nach Y mit D(A) = X. Dann ist A∈ L(X, Y).

Aufgabe 1:Vollst¨andigkeit

(a) Sei wiederX =c₀₀,Y =R undT_n:X→Y, T_n({x_j}) = Xn

j=1

x_j. Dann konvergiert

T_nx→T x= X∞ j=1

x_j f¨ur allex∈c₀₀, aberT istnicht stetig.

(b) F¨urX=Y =c₀₀ und T x= (x₁,^x₂²,^x₃³, . . .) ist T ∈ L(X, Y) und bijektiv. IstT⁻¹ stetig?

(c) Sei X ={g∈C([0,1]) : es existiertg⁰ ∈C([0,1])}mit sup-Norm undT :X →C, T g=g⁰. Dann ist T abgeschlossen und unbeschr¨ankt.

Aufgabe 2:

(a) Seien (X,|| · ||₁) und (X,|| · ||₂) vollst¨andig. Falls||x||₁ ≤c||x||₂ f¨ur allex ∈X, dann sind || · ||₁ und || · ||₂ ¨aquivalent.

(b) Zeigen Sie, dass der RaumC([0,1]) mit Integralnorm ||f||₁ =R₁

0 |f|nicht vollst¨andig ist.

Aufgabe 3:Konvergenz von Operatoren Seien X=Y =L₁([0,1]) und

(A_nf)(t) = (

f(t+ ¹_n), fallst+¹_n <1 0, fallst+¹_n ≥1.

Zeigen Sie, dass A_n∈ L(X, Y), A_nf →If =f inY f¨ur allef ∈X, aber A_n6→I inL(X, Y).

Aufgabe 4:Neumannsche Reihe

Sei X Banachraum undA ∈L(X, X). F¨ur jedesx ∈X sei die Reihe Bx= X∞ n=0

Aⁿx konvergent. Dann ist I−A bijektiv und (I−A)⁻¹=B ist beschr¨ankt.

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Aufgabe 5:Der T¨oplitzsche Permanenzsatz

SeiA={a_i,k}^∞_i,k=1 eine unendliche Matrix. Eine Zahlenfolge{y_k}heißtA-limitierbar zum Wertey, wenn die Reihenz_i=

X∞ k=1

a_i,ky_kf¨uri= 1,2, . . . konvergieren undz_i →ystrebt. Die MatrixAheißt permanent, wenn jede konvergente Folge {y_k} A-limitierbar zu ihrem Grenzwert limy_k ist.

Genau dann ist A permanent, wenn die folgenden Bedingungen alle erf¨ullt sind:

(P1) X∞ k=1

|a_i,k| ≤M f¨ur allei= 1,2, . . ., (P2) lim

i→∞a_i,k = 0 f¨ur alle k= 1,2, . . ., (P3) lim

i→∞

X∞ k=1

a_i,k = 1.

Aufgabe 6:Konvergenz von Quadraturformeln Es sei f ∈C([a, b]). Gesucht ist R_b

af(t)dt. Dazu sei f¨ur alle n∈N, a≤t⁽ⁿ⁾₀ < t⁽ⁿ⁾₁ <· · ·< t⁽ⁿ⁾_n ≤b eine Zerlegung des Intervalles [a, b] und α⁽ⁿ⁾_k ∈Rf¨urk= 0, . . . n. Unter welchen Bedingungen gilt

Q_n(f) :=

Xn

k=0

α⁽ⁿ⁾_k f(t⁽ⁿ⁾_k )→ Z _b

a

f(t)dt ?

Aufgabe 7:Divergente Fourier-Reihe

Es gibt eine reellwertige stetige Funktion, deren Fourier-Reihe in einem vorgegebenem Punktt₀divergiert.