1. Zweite Dreiecksungleichung: Zeigen Sie f¨ ur alle x ∈ R und y ∈ R : |x| − |y|

Ubungsblatt 2 – Differenzial- ¨ und Integralrechnung, WS 09/10

1. Zweite Dreiecksungleichung: Zeigen Sie f¨ ur alle x ∈ R und y ∈ R : |x| − |y|

≤ |x − y|

2. Beziehungen zwischen Binomialkoeffizienten: Es gilt (siehe Vorlesung)

(a + b) ⁿ =

n

X

k=0

n k

a ^k b ^n−k mit

n k

= n!

k! (n − k)!

Zeigen Sie die folgenden Beziehungen zwischen den Binomialkoeffizienten:

• Symmetrie:

n k

= n

n − k

• Summenformeln:

n

X

k=0

n k

= 2 ⁿ und

n

X

k=0

(−1) ^k n

k

= 0

• Pascal’sche Formel:

n + 1 k + 1

= n

k

+ n

k + 1

3. Beweis von Summenformeln per Induktion: Man zeige f¨ ur n ∈ N :

• geometrische Summenformel:

n

X

k=0

q ⁿ = 1 − q ⁿ⁺¹

1 − q f¨ ur q 6= 1

•

n

X

k=1

k ² = n (n + 1) (2n + 1) 6

•

n

X

k=1

k ³ =

n (n + 1) 2

2

4. Teilbarkeit mittels vollst¨ andiger Induktion: Zeigen Sie f¨ ur alle n ∈ N :

• 7 ⁿ − 2 ⁿ ist durch 5 teilbar.

• 11 ⁿ⁺¹ + 12 ²ⁿ⁻¹ ist durch 133 teilbar.

• n ^p − n ist f¨ ur alle n ∈ N durch p teilbar, sofern p eine Primzahl ist

5. Eine Teleskopsumme: Finden Sie f¨ ur n ∈ N einen geschlossenen Ausdruck f¨ ur

n

X

k=1

1 k − 1

k + 1

und beweisen Sie dessen Richtigkeit durch vollst¨ andige Induktion. Bestimmen Sie anschlie- ßend den Wert der Reihe

∞

X

k=1

1

k(k + 1) .

6. Eigenschaften von Folgen: Klassifizieren Sie die angegeben Folgen (a _n ), (b _n ), . . . nach den Kriterien nach oben/unten beschr¨ ankt, (streng) monoton wachsend/fallend, konver- gent/divergent und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert bzw. die H¨ aufungspunkte:

(a) a n = 1 + 1 n (b) b _n = (−1) ⁿ n ² (c) c n = (−1) ⁿ

1 + 1

n ²

(d) d n = n ² + n − 1 2n ² + 3n + 4 (e) e n =

( _n

−3

3n

+3 wenn n ungerade

n

−4

4n

+4 wenn n gerade

7. Babylonisches Wurzelziehen: Wir definieren eine rekursive Folge (a n ) mittels a ₁ = 1 und a _n+1 = a _n

2 + 1 a n

und eine Folge (b n ) mittels b n = a ² _n .

• Bestimmen Sie die ersten Glieder der Folge (a n ).

• Zeigen Sie mittels vollst¨ andiger Induktion 1 ≤ a _n ≤ 2 f¨ ur alle n ∈ N .

• Zeigen Sie (etwa durch sorgf¨ altiges Betrachten der Differenz b n − 2) die Ungleichung b _n ≥ 2 f¨ ur n ≥ 2.

• Zeigen Sie induktiv b n ≤ 2 + ₂ ¹

f¨ ur n ≥ 2.

• Sind die Folgen (a _n ) und (b _n ) konvergent? Wenn ja, welche Grenzwerte besitzen sie?

8. Die Fibonacci-Folge: Leonardo von Pisa, besser bekannt als Fibonacci, stellte im Jahre 1202 die folgende Aufgabe (zitiert nach H. Heuser, Lehrbuch der Analysis I):

Jemand brachte ein Kaninchenpaar in einen gewissen, allseits von W¨ anden um- gebenen Ort, um herauszufinden, wieviel [Paare] aus diesem Paar in einem Jahr entstehen w¨ urden. Es sei die Natur der Kaninchen, pro Monat ein neues Paar hervorzubringen und im zweite Monat nach der Geburt [erstmals] zu geb¨ aren.

[Todesf¨ alle jedoch m¨ ogen nicht eintreten.]

So biologisch fragw¨ urdig die Aufgabenstellung auch sein mag, f¨ uhrt sie doch zu direkt auf eine der bedeutendesten Folgen ¨ uberhaupt, die Fibonacci-Folge

a ₁ = a ₂ = 1, a _n+2 = a _n + a _n+1 f¨ ur n ∈ N . Zeigen Sie, dass die explizite Darstellung

a n = 1

√ 5

1+ √ 5 2

n

−

1− √ 5 2

n

gilt und bestimmen Sie lim

n→∞

a n+1

a _n . (Hinweis: Setzen Sie c = ¹⁺

√ 5

2 und d = ¹⁻

√ 5

2 . Dann sind x = c und x = d L¨ osungen der

quadratischen Gleichung x ² − x − 1 = 0 und erf¨ ullen daher die Identit¨ at c ⁿ (c ² − c − 1) =

d ⁿ (d ² − d − 1).)