Sei nun s := x + y und t := x − y. Dann ist s > t > 0 n = s · t x = (s + t)/2 y = (s − t)/2

Beispiel 36 Satz

Sei n ∈ N , n ≥ 3 und n ungerade. Dann l¨ asst sich n als Differenz zweier Quadratzahlen darstellen.

Beweis:

Falls n = x ² − y ² mit x, y ∈ N , x > y, dann gilt n = (x − y)(x + y).

Sei nun s := x + y und t := x − y. Dann ist s > t > 0 n = s · t x = (s + t)/2 y = (s − t)/2

Also m¨ ussen s und t beide gerade oder beide ungerade sein.

Diskrete Strukturen 4.6 Beweistechniken 88/571

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Beweis (Forts.):

Da

s > t > 0 n = s · t x = (s + t)/2 y = (s − t)/2

kann man f¨ ur ungerades n stets s := n und t := 1 setzen und erh¨ alt damit x = (n + 1)/2 und y = (n − 1)/2, die die Behauptung erf¨ ullen!

Diskrete Strukturen 4.6 Beweistechniken 89/571

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Bemerkungen:

1

Falls n eine ungerade Primzahl ist, sind s und t eindeutig bestimmt und es gibt genau eine L¨ osung f¨ ur x und y.

2

F¨ ur allgemeine n kann es mehr als eine L¨ osung geben, z.B. f¨ ur n = 15 s = 5, t = 3 und 15 = 16 − 1 , oder

s = 15, t = 1 und 15 = 64 − 49 .

3

Auch f¨ ur gerade n kann es L¨ osungen geben, z.B.

8 = 9 − 1 48 = 7 ² − 1 ² 48 = 8 ² − 4 ²

Diskrete Strukturen 4.6 Beweistechniken 90/571

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4.7 Einige Sprechweisen

1

Wir sagen

” Eine Bedingung/Eigenschaft A ist hinreichend f¨ ur eine Eigenschaft B“, falls

A ⇒ B .

2

Wir sagen

” Eine Bedingung/Eigenschaft A ist notwendig f¨ ur eine Eigenschaft B“ , falls

A ⇐ B (bzw. B ⇒ A ) .

3

Wir sagen

” Eine Bedingung/Eigenschaft A ist notwendig und hinreichend f¨ ur eine Eigenschaft B“,

falls

A ⇔ B (bzw. A ≡ B ) .

Diskrete Strukturen 4.7 Einige Sprechweisen 91/571

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4.8 Folgen und Grenzwerte

R bezeichne einen Bereich wie z.B. R, Q, N 0 , oder Z.

Definition 37

1

Sei k ∈ N 0 ∪ {−1}. Eine endliche Folge reeller (bzw. rationaler, nat¨ urlicher, ganzer) Zahlen

(a _i ) _0≤i≤k ist eine Abbildung

{0, 1, . . . , k} 3 i 7→ a i ∈ R .

2

Eine unendliche Folge

(a _n ) n≥0

ist eine Abbildung

N 0 3 n 7→ a n ∈ R .

Diskrete Strukturen 4.8 Folgen und Grenzwerte 92/571

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Sei (a _n ) n≥0 eine reelle Folge.

1

Sei a ∈ R . Wir sagen

” Die Folge (a _n ) n≥0 konvergiert f¨ ur n → ∞ nach a“, und schreiben

n→∞ lim a n = a , falls gilt:

(∀ > 0 ∃n ∈ N ∀n ≥ n )[|a _n − a| < ] .

2

Wir sagen

” Die Folge (a _n ) n≥0 konvergiert f¨ ur n → ∞ gegen +∞“ , und schreiben

n→∞ lim a _n = +∞ , falls gilt:

(∀M ∈ N ∃n _M ∈ N ∀n ≥ n _M )[a _n > M ] .

Diskrete Strukturen 4.8 Folgen und Grenzwerte 93/571

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Beispiel 38

Sei f¨ ur n ∈ N a n := _n ¹ sin n.

Behauptung:

Die Folge (a n ) n∈ N konvergiert (f¨ ur n → ∞) gegen 0.

Beweis:

Sei > 0. W¨ ahle N ∈ N , N > ⁻¹ . Dann gilt f¨ ur n ≥ N :

|a _n − 0| = 1

n | sin n| ≤ 1

n · 1 ≤ 1 N < .

Diskrete Strukturen 4.8 Folgen und Grenzwerte 94/571

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Bemerkungen:

1

Falls es f¨ ur eine Folge (a _n ) n∈ N kein a ∈ R gibt, so dass

n→∞ lim a _n = a , so sagen wir,

” die Folge (a n ) n≥0 divergiert f¨ ur n → ∞“.

2

Konvergenz gegen −∞ wird entsprechend definiert.

3

F¨ ur Funktionen f : N 0 → R wird das Konvergenzverhalten (bzw. lim n→∞ f (n)) analog definiert (indem man die Folge (f (n)) n∈ N

betrachtet!).

Diskrete Strukturen 4.8 Folgen und Grenzwerte 95/571

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4.9 Das Wachstumsverhalten von Funktionen

Die Groß-O-Notation wurde von D. E. Knuth in der Algorithmenanalyse eingef¨ uhrt. Sie wurde urspr¨ unglich von Paul Bachmann (1837–1920) entwickelt und von Edmund Landau (1877–1938) in seinen Arbeiten verbreitet.

Definition 39 (Groß-O-Notation) f (n) ∈ O g(n)

(f¨ ur n → ∞) genau dann, wenn ∃c > 0, n 0 ∈ N , so dass (∀n ≥ n ₀ )

|f (n)| ≤ c · g(n)

” f w¨ achst bis auf einen konstanten Faktor nicht schneller als g“

f (n) ∈ o g(n)

(f¨ ur n → ∞) genau dann, wenn ∀ c > 0 ∃ n ₀ ∈ N , so dass (∀n ≥ n 0 )

|f (n)| < c · g(n)

” f w¨ achst echt langsamer als g“

Diskrete Strukturen 4.9 Das Wachstumsverhalten von Funktionen 96/571

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f (n) ∈ Ω g(n)

(f¨ ur n → ∞) genau dann, wenn ∃c > 0, n ₀ ∈ N , so dass (∀n ≥ n ₀ )

|f (n)| ≥ c · g(n) ≥ 0

” f w¨ achst bis auf einen konstanten Faktor nicht langsamer als g“

f (n) ∈ ω g(n)

(f¨ ur n → ∞) genau dann, wenn ∀ c > 0 ∃ n 0 ∈ N , so dass (∀n ≥ n 0 )

|f (n)| > c · g(n) ≥ 0

” f w¨ achst echt schneller als g“

f (n) ∈ Θ g(n)

(f¨ ur n → ∞) genau dann, wenn f (n) ∈ O g(n)

und f (n) ∈ Ω g(n)

” f w¨ achst (bis auf konstante Faktoren) genauso schnell wie g“

Diskrete Strukturen 4.9 Das Wachstumsverhalten von Funktionen 97/571

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Graphische Darstellung von O

n

c · g(n)

f (n)

n 0

Diskrete Strukturen 4.9 Das Wachstumsverhalten von Funktionen 98/571

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Graphische Darstellung von ω

n

c · g(n) f (n)

n ₀

Diskrete Strukturen 4.9 Das Wachstumsverhalten von Funktionen 99/571

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Graphische Darstellung von Θ

n

c ₂ · g(n) f (n)

c ₁ · g(n)

n ₀

Diskrete Strukturen 4.9 Das Wachstumsverhalten von Funktionen 100/571

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f (n) ∈ Ω ∞ g(n)

genau dann, wenn ∃ c > 0, so dass f¨ ur unendlich viele n ∈ N

|f (n)| ≥ c · g(n) ≥ 0 . f (n) ∈ ω ∞ g(n)

genau dann, wenn ∀ c > 0 ∃ unendlich viele n ∈ N mit

|f (n)| > c · g(n) ≥ 0 .

Bemerkungen:

1

Man schreibt oft, aber logisch unsauber f (n) = O g(n) .

2

Oft werden nur Funktionen N 0 → N 0 betrachtet (oder N → N 0 ); dann sind die Absolutbetr¨ age ¨ uberfl¨ ussig.

3

Manchmal werden auch Funktionen R → R oder das Verhalten f¨ ur x → a betrachtet.

4

Achtung: Die Notation f¨ ur Ω und Ω ∞ ist in der Literatur nicht eindeutig; im Zweifelsfall muss auf die jeweilige Definition geachtet werden!

Diskrete Strukturen 4.9 Das Wachstumsverhalten von Funktionen 101/571

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Rechenzeit in Abh¨ angigkeit von der Problemgr¨ oße

Problemgr¨oße Zeitbedarf

n logn n nlogn n² 2ⁿ n!

10 3×10⁻⁹s 10⁻⁸s 3×10⁻⁸s 10⁻⁷s 10⁻⁶s 3×10⁻³s 10² 7×10⁻⁹s 10⁻⁷s 7×10⁻⁷s 10⁻⁵s 4×10¹³yr * 10³ 1,0×10⁻⁸s 10⁻⁶s 1×10⁻⁵s 10⁻³s * * 10⁴ 1,3×10⁻⁸s 10⁻⁵s 1×10⁻⁴s 10⁻¹s * *

10⁵ 1,7×10⁻⁸s 10⁻⁴s 2×10⁻³s 10s * *

10⁶ 2×10⁻⁸s 10⁻³s 2×10⁻²s 17min * *

Annahme: eine Operation dauert 10 ⁻⁹ Sekunden, log n = log ₂ n

Diskrete Strukturen 4.9 Das Wachstumsverhalten von Funktionen 102/571

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Bezeichnung von Wachstums-Gr¨ oßenordnungen

o(1) konvergiert gegen 0

O(1) beschr¨ ankt durch Konstante O(log n) logarithmische Funktion O(log ^k n) polylogarithmische Funktion O(n) linear beschr¨ ankte Funktion S

k≥0 O(n ^k ) polynomiell beschr¨ ankte Funktion S

c>0 Ω(2 ^cn ) (mindestens) exponentielle Funktion

Diskrete Strukturen 4.9 Das Wachstumsverhalten von Funktionen 103/571

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