Für alle (x, y)∈R2 gilt: (s, t)∈M(x, y

Dr. Stephan Mescher

Musterlösung zu Aufgabe 3b) der Klausur in Analysis II

Aufgabe 3b): SeiF :R² →Rgegeben durch F(x, y) =

Z

M(x,y)

arctan(s) arctan(t) ds dt,

wobei

M(x, y) ={(s, t)∈R² |(s+x)²≤sin⁴(t+y²), t²≤1}.

Bestimme DF(x, y) für beliebiges(x, y)∈R².

Lösung: Wir schreiben zunächst dieM(x, y) um. Für alle (x, y)∈R² gilt:

(s, t)∈M(x, y) ⇔ (s+x)²≤sin⁴(t+y²), t² ≤1,

⇔ |s+x| ≤sin²(t+y²), t∈[−1,1],

⇔ −sin²(t+y²)−x≤s≤sin²(t+y²)−x, t∈[−1,1], also

M(x, y) =

(s, t)∈R² |t∈[−1,1], −sin²(t+y²)−x≤s≤sin²(t+y²)−x ∀x, y∈R. Laut Satz von Fubini gilt daher

F(x, y) = Z 1

−1

Z sin²(t+y²)−x

−sin²(t+y²)−x

arctansarctant ds dt

= Z 1

−1

Z sin²(t+y²)−x

−sin²(t+y²)−x

arctans ds

arctant dt= Z 1

−1

G(x, y, t) arctant dt,

wobeiG:R²×[−1,1]→R,G(x, y, t) =Rsin²(t+y²)−x

−sin²(t+y²)−xarctans ds.

Seieng:R→R,g(r) =R_r

0 arctan(s) ds undϕ1, ϕ2 :R²×[−1,1]→R, ϕ1(x, y, t) =−sin²(t+y²)−x, ϕ2(x, y, t) = sin²(t+y²)−x.

g ist nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung stetig differenzierbar, ϕ1 und ϕ2 sind als Verknüpfungen stetiger Funktionen wieder stetig differenzierbar. Da

G(x, y, t) =

Z ϕ2(x,y,t)

ϕ1(x,y,t)

arctans ds= (g◦ϕ₂)(x, y, t)−(g◦ϕ₁)(x, y, t),

1

ist Gwieder stetig differenzierbar. Nach dem Satz über die Vertauschbarkeit von Ablei- tung und Integral ist daher auch F(x, y) =R₁

−1G(x, y, t) arctant dt differenzierbar und für alle (x, y),(v₁, v₂)∈R² gilt:

DF(x, y)(v₁, v₂) = Z 1

−1

DG(x, y, t)(v₁, v₂,0) arctant dt.

Wir berechnen mit der Kettenregel:

DG(x, y, t)(v1, v2,0) =D(g◦ϕ2)(x, y, t)(v1, v2,0)−D(g◦ϕ1)(x, y, t)(v1, v2,0)

=Dg(ϕ₂(x, y, t))(Dϕ₂(x, y, t)(v₁, v₂,0))−Dg(ϕ₂(x, y, t))(Dϕ₂(x, y, t)(v₁, v₂,0))

=g⁰(sin²(t+y²)−x)Dϕ₂(x, y, t)(v₁, v₂,0)−g⁰(−sin²(t+y²)−x)Dϕ₁(x, y, t)(v₁, v₂,0).

Nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung istg⁰(r) = arctanr für alle r∈R. Berechne die partiellen Ableitungen vonϕ1 undϕ2 als

∂₁ϕ₁(x, y, t) =−1 =∂₁ϕ₂(x, y, t),

∂2ϕ1(x, y, t) =−2 sin(t+y²) cos(t+y²)·2y=−2ysin(2t+ 2y²),

∂₂ϕ₂(x, y, t) = 2ysin(2t+ 2y²),

wobei wir das Additionstheorem des Sinus benutzt haben. Damit folgt:

Dϕ1(x, y, t)(v1, v2,0) =−v₁−2ysin(2t+ 2y²)v2, Dϕ₂(x, y, t)(v₁, v₂,0) =−v₁+ 2ysin(2t+ 2y²)v₂, für alle (x, y, t)∈R²×[−1,1],(v1, v2)∈R². Wir erhalten:

DG(x, y, t)(v₁, v₂,0)

= arctan(sin²(t+y²)−x)(−v₁+ 2ysin(2t+ 2y²)v2)

−arctan(−sin²(t+y²)−x)(−v₁−2ysin(2t+ 2y²)v₂)

= (arctan(−sin²(t+y²)−x)−arctan(sin²(t+y²)−x))v1

+ 2ysin(2t+ 2y²)(arctan(sin²(t+y²)−x) + arctan(−sin²(t+y²)−x))v₂ und folglich

DF(x, y)(v₁, v₂)

= Z 1

−1

(arctan(−sin²(t+y²)−x)−arctan(sin²(t+y²)−x))v1

+ 2ysin(2t+ 2y²)(arctan(sin²(t+y²)−x) + arctan(−sin²(t+y²)−x))v₂)

arctant dt

= Z 1

−1

(arctan(−sin²(t+y²)−x)−arctan(sin²(t+y²)−x)) arctant dt·v₁

+ 2y Z 1

−1

sin(2t+ 2y²)(arctan(sin²(t+y²)−x) + arctan(−sin²(t+y²)−x)) arctant dt·v2

für alle (x, y),(v₁, v₂)∈R².

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