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Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid

T E C H N I S C H E UNIVERSIT ¨ AT D A R M S T A D T

A

16.06.2010

9. Tutorium Analysis II

Sommersemester 2010

(T9.1)

Beweisen Sie§7 Satz 1 aus Forster,Analysis 2:

SeiU ⊆Rn offen undf:U →Reinek-mal stetig differenzierbare Funktion. Seix∈U undξ∈Rnein Vektor derart, dass die Streckex+tξ, 0≤t≤1, ganz inU liegt. Dann ist die Funktion

g: [0,1]→R, g(t) :=f(x+tξ), k-mal stetig differenzierbar und es gilt

dkg

dtk(t) =X

|α|=k

k!

α!(Dαf) (x+tξ)ξα.

L¨osung.

Siehe§7 Satz 1 in Forster,Analysis 2.

(T9.2)

Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionenf:R2→Rmit

D1f(x, y) =xy und D2f(x, y) =y2 f¨ur alle (x, y)∈R2. L¨osung.

Es gibtkeinedifferenzierbare Funktionf:R2→Rmit den geforderten ersten Ableitungen.

G¨abe es eine solche Funktion f : R2 → R, so w¨aren die ersten partiellen Ableitungen offensichtlich auf ganzR2 stetig und ebenso die zweiten. Die Funktion w¨are also zweimal stetig partiell differenzierbar. Außerdem w¨are

D2D1f(x, y) =x6= 0 =D1D2f(x, y),

1

was dem Satz von Schwarz widerspricht.

(T9.3)

Eine Funktionf :Rn\ {0} →Rheißtpositiv homogenvomGradeα∈R, falls f¨ur alle x∈Rn\ {0}und allet >0 gilt

f(tx) =tαf(x).

Zeigen Sie: Istf :Rn\ {0} →Rdifferenzierbar und homogen vom Gradeα, so gilt die Eulersche Relation

hgradf(x), xi=αf(x) f¨ur allex∈Rn\ {0}.

L¨osung.

Seix∈Rn\ {0}undφ(t) :=f(tx). Dann gilt wegen

f(tx) =tαf(x) (1)

f¨ur die Ableitung

φ(t) =αtα−1f(x) (2)

und

φ(t) = d

dtf(tx) =Df(tx)·x=h∇f(tx), xi. (3) Somit ergibt sich

h∇f(tx), txi (3)= tφ(t) (2)= αtαf(x) (1)= αf(tx), t >0, x∈Rn\ {0}. Die Wahlt= 1 liefert die Behauptung.

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