Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid
T E C H N I S C H E UNIVERSIT ¨ AT D A R M S T A D T
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19.05.2010
5. Tutorium Analysis II
Sommersemester 2010
(T5.1) (Strikt normierte R¨aume)
Ein normierter Raum (V,k·k) heißtstrikt normiertoderstrikt konvex, falls f¨ur allex, y∈V gilt
kxk ≤1 kyk ≤1 kx−yk>0
=⇒
x+y 2
<1.
Sein∈N,n≥2. Zeigen Sie, dass (Rn,k · k2) strikt normiert ist, (Rn,k · k∞) aber nicht.
(Hier istkxk2=pPn
i=1x2i undkxk∞= max{|x1|,|x2|, . . . ,|xn|}f¨urx∈Rn.) (T5.2) (Orthogonale Matrizen und Kompaktheit)
Es sein∈N. Eine MatrixM∈Rn×nheißtorthogonal, wennMT =M−1 gilt, wobeiMT die transponierte Matrix vonMbezeichnet.
Zeigen Sie, dass die MengeO(n) der orthogonalenn×n-Matrizen eine kompakte Teilmenge vonRn2ist. Hierbei identifizieren wir einen×n-MatrixM= (ajk)nj,k=1mit dem Vektor
(a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , an1, . . . , ann)∈Rn2.
Hinweis:Betrachten Sie f¨ur 1≤j, k≤ndie Abbildungfjk:Rn2→R, die durch
fjk(M) =
n
X
l=1
aljalk
f¨urM= (ajk)nj,k=1∈Rn2gegeben ist.
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