Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid
T E C H N I S C H E UNIVERSIT ¨ AT D A R M S T A D T
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05.07.2010
12. ¨ Ubung Analysis II
Sommersemester 2010
(G12.1) (Satz ¨uber die Umkehrabbildung) Die Funktionf:R2→R2sei gegeben durch
f(x, y) := (x3+xy+ 1, x+y+y3+ 1).
Zeigen Sie, dass es eine Umgebung des Punktes (1,1) gibt, die durchf bijektiv auf eine Umgebung des Punktes (3,4) abgebildet wird und berechnen Sie den Wert der Umkehr- funktion vonf im Punkt (3,4), sowie den Wert ihrer Ableitung an dieser Stelle.
(G12.2) (Extrema unter Nebenbedingungen)
Man maximiere das Volumen eines Quaders, welcher einer Kugel von festem RadiusR einbeschrieben ist. (Der Quader braucht nat¨urlich a priori kein W¨urfel zu sein!)
(G12.3) (Satz ¨uber die Umkehrabbildung)
Es seiU ⊆Rnoffen und beschr¨ankt undf :U →Rn stetig. Außerdem seif inU stetig differenzierbar undDf(x) f¨ur jedesx∈U invertierbar.
Zeigen Sie, dass jedesy∈f(U)\f(∂U) h¨ochstens endlich viele Urbilder unterf besitzt.
Hausaufgaben
(H12.4) (Satz ¨uber die Umkehrabbildung)
Es seiU⊆Rnoffen undf:U→Rneine stetig differenzierbare Funktion, derart dass die Jacobi-MatrixDf(a) f¨ur allea∈U invertierbar ist. Zeigen Sie, dassf(U) offen inRnist.
(H12.5) (Satz ¨uber die Umkehrabbildung) Wir betrachten die Funktion
f:R2→R2, f(x1, x2) := (x1+x2cosx1, x2ex1x2).
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Zeigen Sie, dass es offene UmgebungenU undV von (0,0) geben, so dass gilt: F¨ur alle z∈V hat die Gleichungf(x) =zeine eindeutige L¨osungx=g(z) inU. Weiter istgauf V stetig differenzierbar.
Berechnen Sie auchDg(0,0).
(H12.6) (Extrema unter Nebenbedingungen)
Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes ¨uber Extrema mit Nebenbedingungen:
IstA= (aij)∈M(n×n,R) eine symmetrischen×n-Matrix, so ist
M:= max{hx, Axi:x∈Rnundkxk2= 1}
ein Eigenwert vonAund jedesx0 ∈Rnmit kx0k2 = 1 undhx0, Ax0i=M ist ein zuM geh¨orender Eigenvektor.
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