Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid
T E C H N I S C H E UNIVERSIT ¨ AT D A R M S T A D T
A
16.06.2010
9. Tutorium Analysis II
Sommersemester 2010
(T9.1)
Beweisen Sie§7 Satz 1 aus Forster,Analysis 2:
SeiU ⊆Rn offen undf:U →Reinek-mal stetig differenzierbare Funktion. Seix∈U undξ∈Rnein Vektor derart, dass die Streckex+tξ, 0≤t≤1, ganz inU liegt. Dann ist die Funktion
g: [0,1]→R, g(t) :=f(x+tξ), k-mal stetig differenzierbar und es gilt
dkg
dtk(t) =X
|α|=k
k!
α!(Dαf) (x+tξ)ξα.
(T9.2)
Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionenf:R2→Rmit
D1f(x, y) =xy und D2f(x, y) =y2 f¨ur alle (x, y)∈R2.
(T9.3)
Eine Funktionf : Rn\ {0} →Rheißtpositiv homogenvom Gradeα∈R, falls f¨ur alle x∈Rn\ {0}und allet >0 gilt
f(tx) =tαf(x).
Zeigen Sie: Istf :Rn\ {0} →Rdifferenzierbar und homogen vom Gradeα, so gilt die Eulersche Relation
hgradf(x), xi=αf(x) f¨ur allex∈Rn\ {0}.
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