Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid
T E C H N I S C H E UNIVERSIT ¨ AT D A R M S T A D T
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05.05.2010
3. Tutorium Analysis II
Sommersemester 2010
(T3.1) (Gleichm¨aßige Konvergenz und Differenzierbarkeit) Wir betrachten die Funktionenfolge (fn)nmitfn:R→R,
fn(x) = r
x2+1 n.
(i) Man zeige, dass (fn)ngleichm¨aßig konvergiert, und man bestimme die Grenzfunktion.
Ist die Grenzfunktion differenzierbar?
(ii) Man zeige, dass jedes fn differenzierbar ist, und man bestimme den punktweisen Grenzwert der Funktionenfolge (fn′)n. Liegt hier gleichm¨aßige Konvergenz vor?
(T3.2) (Taylor-Reihen) Bestimmen Sie den Wert√
2 =75(1−501)−1/2 bis auf einen Fehler, der kleiner oder gleich 10−5ist, durch ein geeignetes Taylor-Polynom.
(T3.3) (Potenzreihen) Es seiP∞
n=0anzneine Potenzreihe mit Konvergenzradiusr∈]0,∞[.
(i) Zeigen Sie, dass dann die PotenzreiheP∞
n=0 an
n!znden Konvergenzradius∞hat.
(ii) Wir setzenf(z) :=P∞
n=0 an
n!zn f¨urz∈C. Zeigen Sie, dass dann f¨ur jedess∈]0, r[
eine KonstanteM(s)>0 existiert mit
|f(z)| ≤M(s) exp(|z|/s).
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