Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid
T E C H N I S C H E UNIVERSIT ¨ AT D A R M S T A D T
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14.07.2010
13. Tutorium Analysis II
Sommersemester 2010
(T13.1) (Lebesgue-Nullmengen)
Eine MengeM⊆RnheißtLebesgue-NullmengeoderMenge vom Lebesgue-Maß0 inRn, falls es zu jedemε >0 abz¨ahlbar viele abgeschlossene RechteckeRi⊆Rn,i∈N, mit
M⊆ [∞ i=0
Ri und X∞
i=0
|Ri|< ε
gibt. (Offensichtlich d¨urfen die Rechtecke auch offen gew¨ahlt werden, denn zu einem ab- geschlossenen Rechteck R und zu δ > 0 gibt es ein abgeschlossenes Rechteck Rδ mit R◦⊆R⊆R◦δund|R◦δ|:=|Rδ|= (1 +δ)|R|.)
Zeigen Sie:
(i) SeienMj⊆Rn,j∈N, Lebesgue-Nullmengen inRn. Dann istS∞
j=0Mjeine Lebesgue- Nullmenge inRn.
(ii) Die MengeQnist eine Lebesgue-Nullmenge inRn.
(iii) SeiR⊆Rn ein Rechteck und seif :R→Reine Riemann-integrierbare Funktion.
Dann ist der Graph
G(f) ={(x, f(x))∈Rn+1:x∈R}
eine Lebesgue-Nullmenge inRn+1.
(iv) Der EinheitskreisS1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}ist inR2eine Lebesgue-Nullmenge.
(T13.2) (Lebesguesches Integrabilit¨atskriterium)
SeiR⊆Rnein Rechteck und seif:R→Rbeschr¨ankt. Die Funktionfheißtfast ¨uberall stetig, falls es eine MengeM⊆Rgibt, die inRnLebesgue-Maß 0 hat, so dassf in allen Punkten vonR\Mstetig ist.
Zeigen Sie, dassfRiemann-integrierbar ist, wenn sie fast ¨uberall stetig ist.
(Man kann auch die Umkehrung zeigen: FallsfRiemann-integrierbar ist, ist sie fast ¨uberall stetig.)
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