Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid
T E C H N I S C H E UNIVERSIT ¨ AT D A R M S T A D T
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30.06.2010
11. Tutorium Analysis II
Sommersemester 2010
(T11.1)
Es seiA: ]0,1[→R2×2eine stetig differenzierbare Abbildung mit A(t) =
a(t) b(t) b(t) d(t)
.
Angenommen, die MatrixA(t) hat f¨ur jedest∈]0,1[ zwei verschiedene reelle Eigenwerte λ1(t)< λ2(t). Zeigen Sie
(i) durch explizite Berechnung der Eigenwerte,
(ii) durch Verwendung des Satzes ¨uber implizite Funktionen, dass die Abbildungenλ1, λ2: ]0,1[→Rstetig differenzierbar sind.
Sie k¨onnen in (ii) ohne Beweis verwenden, dassλ1undλ2stetig sind.
(T11.2)
Es seia= (a0, a1, . . . , an)∈Rn+1 undpa:R→R,pa(x) =Pn
k=0akxkein Polynom vom Gradn≥1. Sei weiterx0∈Reine einfache Nullstelle vonpa. Gegebenb= (b0, b1, . . . , bn)∈ Rn+1definieren wir
pb:R→R, pb(x) :=
n
X
k=0
bkxk.
(i) Zeigen Sie, dass f¨urbin einer hinreichend kleinen Umgebung vona auch das Poly- nompbeine eindeutige einfache Nullstelleϕ(b) nahe beix0 besitzt. Zeigen Sie, dass die so definierte Funktion ϕ in einer hinreichend kleinen Umgebung von a stetig differenzierbar ist.
(ii) Man zeige: Besitztpagenaunverschiedene Nullstellen, so haben auch die Polynome pbmitbhinreichend nahe beiagenaunverschiedene Nullstellen.
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