Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Ulrich Kohlenbach PD Dr. Achim Blumensath Dr. Eyvind Briseid
T E C H N I S C H E UNIVERSIT ¨ AT D A R M S T A D T
A
10.05.2010
4. ¨ Ubung Analysis II
Sommersemester 2010
(G4.1) (Innenproduktr¨aume, die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung und die Parallelogrammgleichung)
SeiV ein Vektorraum ¨uberR. Eine Funktionh ·,· i:V ×V →RheißtInneres Produkt falls gilt:
(i) (∀x, y, z∈V)
hx+y, zi=hx, zi+hy, zi , (ii) (∀α∈R)(∀x, y∈V)
hαx, yi=αhx, yi , (iii) (∀x, y∈V)
hx, yi=hy, xi , (iv) (∀x∈V)
hx, xi ≥0
, wobeihx, xi= 0 genau f¨urx= 0 gilt.
(Ein bekanntes Beispiel ist das Standardskalarprodukthx, yi=Pn
i=1xiyiinRn. Siehe auch Kapitel 8 im Lineare Algebra II-Skript.)
EinInnenproduktraum¨uberRist ein Paar (V,h ·,· i), bestehend aus einem VektorraumV und einem inneren Produkth ·,· iaufV. (Ein Innenproduktraum heißt auchpr¨ahilbertscher Raum.)
(a) Sei (V,h ·,· i) ein Innenproduktraum ¨uberR. Beweisen Sie dieCauchy-Schwarzsche Ungleichung: F¨ur allex, y∈V gilt
|hx, yi| ≤p hx, xip
hy, yi. (1)
Hinweis:Man beachte, dass f¨urα∈Rgilt
0≤ hx+αy, x+αyi=hx, xi+ 2αhx, yi+α2hy, yi.
F¨ury6= 0 setze manα=−hx, yi/hy, yi.
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(b) Zeigen Sie, dass man in jedem Innenproduktraum (V,h ·,· i) ¨uberReine Norm ¨uberR (diekanonischeNorm) durchkxk:=p
hx, xidefinieren kann. Wir sagen, das inneres Produktinduziertdie Normk · k.
Bemerkung: Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung kann man dann in der Form
|hx, yi| ≤ kxk kykschreiben.
(c) Sei (V,h ·,· i) ein Innenproduktraum ¨uberRundk · kdie kanonische Norm. Beweisen Sie dieParallelogrammgleichung: F¨ur allex, y∈V gilt
kx+yk2+kx−yk2= 2kxk2+ 2kyk2. (2) Bemerkung:F¨ur den euklidischen R2 dr¨uckt (2) den elementargeometrischen Satz aus, dass in einem Parallelogramm die Summe der Quadrate ¨uber den Seiten gleich der Summe der Quadrate ¨uber den Diagonalen ist.
(∗) Sei (V,k · k) ein normierter Raum ¨uberR, in dem die Parallelogrammgleichung (2) gilt. Zeigen Sie, dass man durch
hx, yi:=
x+y 2
2
−
x−y 2
2
(3) ein inneres Produkth ·,· idefinieren kann. Zeigen Sie auch, dassk · kdie kanonische Norm bez¨uglich des inneres Produktsh ·,· iist.
Um die Gleichunghαx, yi=αhx, yif¨ur alleα∈Rund allex, y∈V zu zeigen, zeigen wir zuerst, dasshrx, yi=rhx, yif¨ur aller∈Q. Dann folgthαx, yi=αhx, yif¨ur alle α∈Raus der Stetigkeit der Funktionh ·,· i. Da wir aber Stetigkeit in diesem Kontext noch nicht eingef¨uhrt haben, k¨onnen Sie diesen Schritt als gegeben voraussetzen, d. h.
es reicht zu zeigen, dasshrx, yi=rhx, yif¨ur aller∈Q.
Aus (c) und (∗) folgt also: Genau diejenigen normierten R¨aume (¨uberR), in denen die Parallelogrammgleichung gilt, sind Innenproduktr¨aume (¨uberR).
Hausaufgaben
(H4.2)
Seiena < b∈RundC([a, b],R) der Vektorraum aller stetigen Funktionenf : [a, b]→R.
Wir definieren die Funktionk · k1:C([a, b],R)→Rdurch kfk1=
Z b
a
|f(x)|dx.
(a) Zeigen Sie, dassk · k1ein Norm aufC([a, b],R) ist.
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(b) Sei (fn)neine Folge von Punkten ausC([a, b],R), d. h. eine Folge von stetigen Funk- tionenfn : [a, b]→R. Die Folge (fn)n heißtCauchy-Folge in dem normierten Vek- torraum (C([a, b],R),k · k1), wenn gilt:
(∀ε >0)(∃N∈N)(∀m, n≥N)(kfn−fmk1< ε).
Die Folge (fn)nheißtkonvergentin (C([a, b],R),k·k1) mit Grenzwertf∈C([a, b],R), wenn gilt
(∀ε >0)(∃N∈N)(∀n≥N)(kfn−fk1< ε).
Finden Sie eine Cauchy-Folge (fn)nin (C([−1,1],R),k·k1), die in (C([−1,1],R),k·k1) nicht konvergiert.
(c) Seifn: [0,1]→R,fn(x) =xn. Konvergiert die Folge (fn)nin (C([0,1],R),k · k1)?
(H4.3)
(a) Zeigen Sie, dass (C([0, π],R),k · k1) kein Innenproduktraum ist, d. h. dassk · k1von keinem inneren Produkt induziert wird.
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Parallelogrammgleichung in (C([0, π],R),k · k1) nicht gilt. Benutzen Sie daf¨ur z. B. die Funktionenf, g: [0, π]→Rmit
f(t) =1 2+cost
2 , g(t) =1 2−cost
2 .
(b) Sei (V,h ·,· i) ein Innenproduktraum ¨uberR. In (G4.1) haben wir gezeigt, dass f¨ur allex, y∈V gilt
|hx, yi| ≤ kxk kyk, (4)
wobeik · kdie von dem inneren Produkth ·,· iinduzierte Norm ist. Zeigen Sie, dass
|hx, yi|=kxk kyk genau dann gilt, wenny= 0 oderx=λyf¨ur einλ∈R.
Hinweis:Man setzeλ=hx, xi/hy, xi, wennhy, xi 6= 0 ist.
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