Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 1
Zusatzaufgabe 4: (a) Es sei I ⊂ R ein Intervall. Eine Funktion f : I → R heißt konvex, falls f¨ur alle x, y ∈I und alle t∈[0,1] die Ungleichungf(tx+ (1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y) gilt. Man veranschauliche sich diese Bedingung anhand des Graphen vonf. Man beweise: istf zweimal differenzierbar, und f00(x)≥0 f¨ur alle x∈I, so ist f konvex. Hinweis: f¨urx < z < y zeige man mit dem Mittelwertsatz, dass f(z)−fz−x(x) ≤ f(y)−f(z)y−z gilt.
(b) Man zeige dieYoungsche Ungleichung: sindp, q ∈(1,∞) mit 1p+1q = 1 und a, b ≥ 0, so gilt ab ≤ 1pap + 1qbq. Tip: 1. die Ungleichung ist trivialerweise richtig, wenn a = 0 oder b = 0 gilt; also setze man a, b > 0. 2. aus Aufgabenteil 1 folgt, dass f(x) := ex eine konvexe Funktion auf Rist.
L¨osung: Daf00≥0 ist f0 monoton steigend. Die Ungleichung ist symmetrisch in xund y. Sei x < y und setze z :=tx+ (1−t)y. Wegen des Mittelwertsatzes gilt f¨ur x < z < y:
f(z) =f(x) + (z−x)f0(x+θ0(z−x))f(y) = f(z) + (y−z)f0(z+θ1(y−z)).
Weil x+θ0(z−x)≤z+θ1(y−z), folgt hieraus f(z)−f(x)
z−x ≤ f(y)−f(z) y−z
beziehungsweise
f(tx+ (1−t)y)−f(x)
(1−t)(y−x) ≤ f(y)−f(tx+ (1−t)y) t(y−x)
oder nach Multiplizieren mit t(1−t)(y−x)≥0:
(f(tx+ (1−t)y)−f(x))t≤(f(y)−f(tx+ (1−t)y))(1−t) und schließlich
f(tx+ (1−t)y)≤f(y)(1−t) +f(x)t was zu zeigen war.
Die E-Funktion ist konvex, denn exp00 = exp > 0. Die Konvexit¨atsungleichung besagt nun, dass
x1/py1/q = exp(1
plogx+ 1
qlogy)≤ 1 px+ 1
qy Nun setzex=ap, y=bq. Damit folgt
ab≤ 1 pap+1
qbq.
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