Eine stetige Funktion f mit der Eigenschaft f (x i ) = y i f¨ ur i = 0, 1, . . . , n heißt Interpolierende der Wertepaare (x i , y i ) . Man sagt auch f in- terpoliert die Wertepaare.

30. Interpolation - Lagrange Polynome

Problemstellung:

Gegeben seien n + 1 Wertepaare (z.B. Messwerte) (x _i , y _i ) i = 0, 1, . . . , n , wobei x _i ̸ = x _j f¨ ur i ̸ = j .

Gesucht ist eine stetige Funktion f mit f (x i ) = y i f¨ ur i = 0, 1, . . . , n . Die x − Werte der Wertepaare heißen auch St¨ utzstellen, die y − Werte auch St¨ utzwerte und die Wertepaare selbst St¨ utzpunkte.

Eine stetige Funktion f mit der Eigenschaft f (x _i ) = y _i f¨ ur i = 0, 1, . . . , n heißt Interpolierende der Wertepaare (x _i , y _i ) . Man sagt auch f in- terpoliert die Wertepaare.

Es scheint plausibel, dass es zu vorgegebenen Wertepaaren mehrere Inter- polierende geben wird. In diesem Abschnitt diskutieren wir interpolierende Polynome.

Einfachster Fall. Gegeben seien zwei Wertepaare (x ₀ , y ₀ ) und (x ₁ , y ₁ ) mit x ₀ ̸ = x ₁ .

Wir bilden folgendes Polynom 1. Grades P (x) = _x ^{x − x}

0

− x

y 0 + _x ^{x − x}

1

− x

y 1

F¨ ur x = x ₀ gilt: P (x ₀ ) = y ₀ F¨ ur x = x ₁ gilt: P (x ₁ ) = y ₁

Damit erf¨ ullt P (x) die geforderte Eigenschaft.

Beispiel. Gegeben seien die Wertepaare (1, 3) und (2, 5) . Dann ist P (x) = ^x ₋ ⁻ ₁ ² · 3 + ^{x −} ₁ ¹ · 5 = 2x + 1 .

Man beachte, dass Q(x) = x ² − x + 3 ebenfalls ein interpolierendes

1

Polynom ist.

Im allgemeinen Fall liegen n + 1 Punkte (x ₀ , y ₀ ), (x ₁ , y ₁ ), . . . , (x _n , y _n ) vor (x _i ̸ = x _j f¨ ur i ̸ = j) und wir suchen ein Polynom P _n (x) n − ten Grades mit

P n (x i ) = y i , ∀ i

Dabei k¨ onnen die St¨ utzpunkte auch von einer Funktion f (x) stammen, d.h. es gilt y _i = f (x _i ) , ∀ i .

Wir bilden nun die Faktoren

L _n,k (x) = _(x ^{(x − x}

^{)...(x − x}

^{)(x − x}

^{)...(x − x}

⁾

k

− x

)...(x

− x

)(x

− x

)...(x

− x

) , k = 0, . . . , n Offenbar gilt L _n,k (x _k ) = 1 und L _n,k (x _i ) = 0 wenn i ̸ = k .

Definition. Das Lagrange’sche Interpolationspolynom P _n (x) vom Grad n ist gegeben durch

P n (x) = y 0 L n,0 (x) + y 1 L n,1 (x) + . . . + y n L n,n (x) =

∑ n k=0

y k L n,k (x)

Bemerkung. P _n (x) ist das einzige Polynom vom Grad ≤ n welches die Eigenschaft P _n (x _i ) = y _i , ∀ i besitzt.

Bemerkung. Gesucht ist das Interpolationspolynom zweiten Grades von f (x) = _x ¹ , das an den Stellen x ₀ = 2 , x ₁ = 2.5 und x ₂ = 4 mit f

¨

ubereinstimmt.

2

Wir betrachten also die St¨ utzpunkte (2, 0.5) , (2.5, 0.4) , (4, 0.25) L 2,0 (x) = _(x ^{(x − x}

^{)(x − x}

⁾

0

− x

)(x

− x

) = ^(x ₍₂ ⁻ ₋ ^2.5)(x _{2.5)(2 −} ⁻ ₄₎ ⁴⁾ = (x − 6.5)x + 10 L _2,1 (x) = _(x ^{(x − x}

^{)(x − x}

⁾

1

− x

)(x

− x

) = _(2.5 ^{(x −} ₋ ^2)(x _2)(2.5 ⁻ ₋ ⁴⁾ ₄₎ = ¹ ₃ (( − 4x + 24)x − 32) L _2,2 (x) = _(x ^{(x − x}

^{)(x − x}

⁾

2

− x

)(x

− x

) = ^(x ₍₄ ⁻ ₋ ^2)(x _{2)(4 −} ⁻ _2.5) ^2.5) = ¹ ₃ ((x − 4.5)x + 5) Damit erhalten wir

P ₂ (x) =

∑ 2 k=0

y _k L _2,k (x) =

= 0.5 · [(x − 6.5)x + 10] + ^0.4 ₃ · [( − 4x + 24)x − 32] + ^0.25 ₃ · [(x − 4.5)x + 5] =

= (0.05x − 0.425)x + 1.15

Wir k¨ onnen jetzt etwa f (3) = ¹ ₃ durch P ₂ (3) = 0.325 approximieren.

3