10. F¨ ur die st¨ uckweise linear Interpolierende f 2 (x) der auf dem Intervall [x 0 , x 2 ] = [0.1, 1] gegebenen Funktion f(x) = 1 x gilt die Fehlerabsch¨atzung

Technische Universit¨at Graz WS 2021/2022

Institut f¨ ur Angewandte Mathematik Blatt 4

Univ.–Prof. Dr. Olaf Steinbach 8.11.2021

Numerische Mathematik 1

10. F¨ ur die st¨ uckweise linear Interpolierende f 2 (x) der auf dem Intervall [x 0 , x 2 ] = [0.1, 1] gegebenen Funktion f(x) = ¹ x gilt die Fehlerabsch¨atzung

1

Z

0.1

[f (x) − f 2 (x)] ² dx ≤ 1 24

2

X

i =1

(x i − x i − 1 ) ⁴

x

Z

x

|f ^′′ (s)| ² ds .

Wie muß der Interpolationsknoten x 1 ∈ (x 0 , x 2 ) n¨aherungsweise gew¨ahlt werden, damit beide Sum- manden auf der rechten Seite ¨ ubereinstimmen?

11. Gegeben sei

u(x) =

( 1 f¨ ur x ∈ [0, ¹ ₂ ), 0 f¨ ur x ∈ [ ¹ ₂ , 1].

F¨ ur welche s ∈ (0, 1) existiert das Integral

Z 1 0

Z 1 0

[u(x) − u(y)] ²

|x − y| ^1+2s dx dy ?

12. Gegeben sei die Funktion f (x) = x ² f¨ ur x ∈ [0, 1]. F¨ ur die St¨ utzstellen x 0 = 0 und x 1 = 1

bestimme man die linear Interpolierende I h f sowie die lineare L 2 Projektion Q h f und berechne die

Fehler in der L 2 Norm.