Aufgabe 1. Seien X, Y ∈ L

Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 5

zu bearbeiten bis 31.05.2019

Aufgabe 1. Seien X, Y ∈ L

reellwertige Zufallsvariablen. Zeigen Sie: Die quadratische Ab- weichung

E (Y − a − bX)

zwischen X und der affinen Funktion Z = a + bX wird minimiert für b = Cov(X, Y )

Var(X) und a = E (Y − bX).

Z heißt beste lineare Prognose von Y durch X bzw. beste lineare Prognose von Y gestützt auf X.

Aufgabe 2. Ein Nachrichtensignal überträgt 0-1 Bits, die unabhängig voneinander mit Wahr- scheinlichkeit q = 3/4 richtig und p = 1/4 falsch übertragen werden. Eine erste Nachricht besteht aus N

= 2 Bits und eine zweite Nachricht besteht aus N

= 10 Bits. Sei X

(bzw. X

) die Anzahl falsch übertragener Bits in der ersten (bzw. zweiten) Nachricht. Sei X die totale Anzahl falsch übertragener Bits.

(a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X

, X

und X.

(b) Was ist die beste lineare Prognose von X

durch X? Was ist die beste lineare Prognose von X

durch X?

Aufgabe 3. Es seien X und Y reellwertige Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ). Zeigen Sie:

(a) Falls Y mit Wahrscheinlichkeit Eins konstant ist, so sind X und Y unabhängig.

(b) Sind X und Y unabhängig, so gilt für jedes A ∈ σ(X) ∩ σ(Y ) P (A) = 0 oder P (A) = 1.

(c) Zeigen oder widerlegen Sie folgende Behauptung. Zwei unkorrelierte Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen sind unabhängig.

Aufgabe 4. Zeigen Sie mittels maßtheoretischer Induktion für unabhängige Zufallsvariablen X, Y : Ω → S ⊂ R ¯ und messbare Funktionen f, g : S → R

E (f (X)g(Y )) = E (f(X)) E (g(Y )).

Spezialisieren Sie anschließend für f (x) = g(x) = x, x ∈ R . Folgern Sie, dass für die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen

Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )

gilt, wobei Var(X) := E ((X − E (X))

).