Aufgabe 1. Seien X

Stochastik, Sommersemester 2019 Prof. Dr. U. Freiberg Dr. M. Tautenhahn Übungsblatt 6

zu bearbeiten bis 07.06.2019

Aufgabe 1. Seien X

, X

, . . . unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter λ > 0. Zeigen Sie

lim sup

n→∞

X

log n = 1

λ P -fast sicher.

Aufgabe 2. Beweisen Sie die folgende Aussage. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Seien weiterhin X, X

: Ω → R , n ∈ N Zufallsvariablen. Dann gilt X

→

X ⇒ X

→ X.

Aufgabe 3. Sei X

, X

, . . . eine Folge von Zufallsvariablen mit E (X

) = m und Var(X

) = σ

für i ∈ N . Es gelte

|Cov(X

, X

)| ≤ r(|i − j|)

für eine Funktion r : N → (0, ∞). Zeigen Sie, dass unter der Bedingung 1

n

n−1

X

k=1

(n − k)r(k) → 0 für n → ∞ (1)

an das „Abklingen“ der Korrelationen das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt, d. h.

n→∞

lim P

X

+ X

+ . . . + X

n − m

> ε

= 0 ∀ ε > 0.

Zeigen Sie, um einen Zusatzpunkt zu bekommen, dass die Bedingung lim

r(k) = 0 die Bedingung (1) impliziert.

Hinweis: Definieren Sie sich die Zufallsvariable S

= X

+. . .+X

. Für eine reelle Zufallsvariable X gilt E ((X − E (X))

) = Var(X). Beachten Sie Var(S

) = ^P

Cov(X

, X

).

Aufgabe 4.

(a) Eine Münze wird wiederholt unabhängig geworfen. Bei jedem Wurf fällt „Zahl“ mit Wahr- scheinlichkeit p und „Kopf“ mit Wahrscheinlichkeit 1 − p. Seien K

und Z

die Anzahlen von „Kopf“ beziehungsweise „Zahl“ bei den ersten n Würfen. Zeigen Sie für ε > 0

n→∞

lim P

2p − 1 − ε ≤ 1

n (Z

− K

) ≤ 2p − 1 + ε = 1.

Hinweis: Nutzen Sie das schwache Gesetz der großen Zahlen.

(b) Beim asymmetrischen random walk S

, n ∈ N

, auf Z wird vor jedem Bewegungsschritt eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p 6= 1/2 für „Zahl“ und 1 − p für „Kopf“ geworfen.

Fällt „Kopf“ bzw. „Zahl“, dann fällt bzw. steigt die Position im nächsten Schritt um eine Einheit. Zeigen Sie, dass S

mit Wahrscheinlichkeit 1 nur endlich oft zum Startpunkt zurückkehrt.

Hinweis: Die Stirling-Formel könnte nützlich sein.