Aufgabe 2. Es seien c > 1 und X : Ω → [c

Stochastik, Sommersemester 2014 Prof. Dr. I. Veselić Dr. M. Tautenhahn, Dr. C. Schumacher Hausaufgabe 12

Abgabe am 30.6. oder am 2.6. in der Übung

Aufgabe 1. Sei P die Gleichverteilung auf der Menge Ω der Permutationen von {1, . . . , n}, n ∈ N . Für eine Permutation ω ∈ Ω bezeichne X(ω) die Anzahl der Fixpunkte. Berechnen Sie den Erwartungs- wert E (X) und die Varianz Var(X).

Aufgabe 2. Es seien c > 1 und X : Ω → [c

, c] eine Zufallsvariable.

(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung (0, ∞) 3 p 7→ ( E (X

))

monoton wachsend ist.

Hinweis: Verwenden Sie die Jensen-Ungleichung mit [c

, c] 3 x 7→ x

für p > q > 0.

(b) Argumentieren Sie, dass (−∞, 0) 3 p 7→ ( E (X

))

ebenfalls monoton wachsend ist.

(c) Bestimmen Sie lim

p→0

( E (X

))

. (d) Berechnen Sie weiter lim

p→∞

( E (X

))

und lim

p→−∞

( E (X

))

. (e) Spezialisieren Sie den Ausdruck lim

q→p

( E (X

))

für p ∈ {−∞, −1, 0, 1, ∞} und eine Zufallsgröße X mit P (X = a) = P (X = b) = 1/2 für zwei Zahlen a > b > 0.

Aufgabe 3. Beweisen Sie die folgende Aussage. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien wei- terhin X, X

: Ω → R , n ∈ N Zufallsvariablen. Dann gilt

X

→

X ⇒ X

→ X.

Aufgabe 4.

(a) Eine Münze wird wiederholt unabhängig geworfen. Bei jedem Wurf fällt „Zahl“ mit Wahrschein- lichkeit p und „Kopf“ mit Wahrscheinlichkeit 1 − p. Seien K

und Z

die Anzahlen von „Kopf“

beziehungsweise „Zahl“ bei den ersten n Würfen. Zeigen Sie für ε > 0

n→∞

lim P

2p − 1 − ε ≤ 1

n (Z

− K

) ≤ 2p − 1 + ε

= 1.

Hinweis: Nutzen Sie das schwache Gesetz der großen Zahlen.

(b) Beim asymmetrischen random walk S

, n ∈ N

, auf Z wird vor jedem Bewegungsschritt eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p 6= 1/2 für „Zahl“ und 1−p für „Kopf“ geworfen. Fällt „Kopf“ bzw. „Zahl“, dann fällt bzw. steigt die Position im nächsten Schritt um eine Einheit. Zeigen Sie, dass S

mit Wahrscheinlichkeit 1 nur endlich oft zum Startpunkt zurückkehrt.

Hinweis: Die Stirling-Formel könnte nützlich sein.