Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik
Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Hausaufgabe 11
Abgabe bis 7./8. Juli 07:30
Aufgabe 1. Seien X
1, X
2, . . . paarweise unabh¨ angige, identisch verteilte und nichtnega- tive Zufallsvariablen mit E (X
1) ∈ [0, ∞]. Zeigen Sie dass
n→∞
lim 1 n
n
X
i=1
X
i= E (X
1) f¨ ur P -fast alle ω ∈ Ω gilt.
Aufgabe 2. Sei X
1, X
2, . . . eine Folge von Zufallsvariablen mit E (X
i) = m und Var(X
i) = σ
2f¨ ur i ∈ N . Es gelte
|Cov(X
i, X
j)| ≤ r(|i − j|)
f¨ ur eine Funktion r : N → (0, ∞). Zeigen Sie, daß unter der Bedingung 1
n
2n−1
X
k=1
(n − k)r(k) → 0 f¨ ur n → ∞ (1)
an das
” Abklingen“ der Korrelationen das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt, d. h.
n→∞
lim P
X
1+ X
2+ . . . + X
nn − m
> ε
= 0 ∀ ε > 0.
Zeigen Sie, daß die Bedingung lim
k→∞r(k) = 0 die Bedingung (1) impliziert.
Hinweis: Definieren Sie sich die Zufallsvariable S
n= X
1+. . .+X
n. F¨ ur eine reelle Zufalls- variable X gilt E ((X − E (X))
2) = Var(X). Beachten Sie Var(S
n) = P
ni,j=1
Cov(X
i, X
j).
Aufgabe 3. Seien µ, µ
n(n ∈ N ) Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem Maßraum (S, B(S)) und F, F
n(n ∈ N ) die zugeh¨ origen Verteilungsfunktionen. Weiterhin sei S(F ) = {x ∈ R | F stetig in x}. F¨ ur alle x ∈ S(F ) gelte F
n(x) → F (x) falls n → ∞. Zeigen Sie dass die Folge (µ
n) straff ist.
Aufgabe 4. (a) Seien X
1, . . . , X
nunabh¨ angige reellwertige Zufallsvariablen mit abso- lutstetigen Verteilungen bez¨ uglich des Lebesgue-Maßes auf R :
P ({X
i∈ B }) = Z
B
f
Xi(t)dt, B ∈ B( R ).
Zeigen Sie: Die gemeinsame Verteilung von X
1, . . . , X
nist absolutstetig bez¨ uglich des Lebesguemaßes auf R
nmit Dichte
f (t
1, . . . , t
n) =
n
Y
i=1
f
Xi(t
i).
(b) Umgekehrt seien X
1, . . . , X
nreellwertige Zufallsvariablen, deren gemeinsame Vertei- lung absolutstetig mit einer Dichte in Produktform ist:
f (t
1, . . . , t
n) =
n
Y
i=1
f
i(t
i), f
i: R → [0, ∞) messbar.
Zeigen Sie: X
1, . . . , X
nsind unabh¨ angig und die Verteilungen sind absolutstetig mit Dichten
f
Xi= f
iR
R
