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Academic year: 2021

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Stochastik für das Lehramt Prof. Dr. U. Freiberg

Sommersemester 2019 Dr. M. Tautenhahn

Hausaufgabe 1

Abgabe am 30. April 2019

Aufgabe 1. Es seien A, B, C ⊂ Ω Ereignisse. Drücken Sie mit Hilfe von Mengenoperationen folgende Ereignisse aus:

(a) Keines der Ereignisse tritt ein.

(b) Mindestens zwei der Ereignisse treten ein.

(c) Mindestens eines der Ereignisse tritt ein.

(d) Höchstens zwei der Ereignisse treten ein.

(e) Genau eines der Ereignisse tritt ein.

(f) Mindestens eines der Ereignisse tritt nicht ein.

Aufgabe 2. Beweisen Sie die Aussagen (a)-(f) des Lemmas 1.1.5.

Aufgabe 3.

(a) Ein Bit kann zwei Zustände (0 oder 1) annehmen. Ein Byte besteht aus 8 Bits (z.B.

01101011). Wie viele verschiedene Bytes gibt es?

(b) Auf wie viele Arten kann man 7 Hotelgäste in 10 freien Einzelzimmern unterbringen?

(c) Aus einer Schulklasse von 23 Schülern soll eine Abordnung von 5 Schülern zum Direktor geschickt werden. Auf wie viele Arten kann diese Abordnung gebildet werden?

(d) In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Es sollen drei Kugeln mit Zu- rücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Aufgabe 4. Es wird mit vier Würfeln gleichzeitig gewürfelt. Geben Sie den verwende- ten Wahrscheinlichkeitsraum Ω an und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

(a) Die höchste Augenzahl ist 4.

(b) Alle vier Würfel zeigen die gleiche Augenzahl.

(c) Es wird keine 5 und keine 6 gewürfelt.

(d) Die vier Würfel zeigen vier verschiedene Augenzahlen.

(e) Es wird genau eine 6 gewürfelt.

(f) Die vier gewürfelten Augenzahlen bilden eine „Straße“.

(g) Es wird mindestens eine 6 gewürfelt.

(2)

Aufgabe 5. Es sei (Ω, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, wobei Ω = {1, 2, 3, 4} und p = (p

1

, p

2

, p

3

, p

4

) mit p

i

= p(i), i = 1, 2, 3, 4.

Seien A = {1, 2} und B = {1, 3} Teilmengen von Ω und es sei bekannt, dass für das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß P gilt

(a) P (A) = P (B) = 1/2, (b) P (A) = P (B) = 1.

Geben Sie in beiden Fällen alle Wahrscheinlichkeitsmaße P an, die dies erfüllen.

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