Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 10. April 2019
H¨ohere Mathematik II (MB)
17. ¨Ubung : Ebene Kurven
17.1 Welche Kurven werden durch die Parametrisierungx(t) = (x(t)y(t))⊤ beschrieben ? Berechnen Siekx˙(t)k.
(a) x(t) =rcost+ 1, y(t) =rsint−1, r >0, t∈R (b)x(t) =acost , y(t) =bsint , a, b >0, t∈R
17.2 Skizzieren Sie folgende Kurven. Ermitteln Sie die Wertebereiche vonx(t) undy(t), t∈R.Wie werden die Kurven durchlaufen, wenn sicht von −∞ nach ∞ ¨andert ?
Bestimmen Sie den Anstieg der Kurven. Beschreiben Sie die Kurven durch Gleichungen, die den Parametertnicht enthalten.
(a) x(t) = 3 cos2t , y(t) = 2 sin2t (b)x(t) = cos 2t, y(t) = sint 17.3 Die Zykloide
x(t) =a(t−sint), y(t) =a(1−cost), t∈R ist die Bahnkurve eines Punktes P am Umfang eines auf der Gerade y= 0 abrollenden Rades vom Radiusa >0 (Rollkurve).
Wie ¨andert sich der Anstieg der Kurve w¨ahrend einer vollen Periode ? Was passiert mit dem Geschwindigkeitsvektor beit= 2π?
17.4 Finden Sie f¨ur die Kurvey=x2 die Gleichungen von Normale und Kr¨ummungskreis in den PunktenP1(0,0) undP2(1,1).
17.5 In welchen Punkten hat die Kardioide r(ϕ) = 1 + cosϕ , 0≤ϕ≤2π . eine vertikale Tangente ?
17.6 Skizzieren Sie die Kurve
x(t) = sin 2tcost , y(t) = sin 2tsint , t∈R. Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
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18. ¨Ubung : Integralrechnung I
18.1 Berechnen Sie mittels partieller Integration.
Z
xsinx dx, Z
xcoshx dx, Z
1·lnx dx, Z x2
exdx 18.2 Ermitteln Sie die jeweilige Stammfunktion, indem Sie geeignet
substituieren.
e−3x, 1 cos2!x
2
, √3
5−6x , sin4xcosx , 1 xlnx 18.3 Finden Sie die Partialbruchzerlegung der Funktionen.
Wie lauten die Stammfunktionen der ersten beiden Funktionen ? x
(x+ 2)2, 1
x(x2+ 1), 3x3+ 10x2−x
(x+ 1)2(x−1)2, x4−x3−x−1 x3−x2 18.4 Berechnen Sie die bestimmten Integrale mittels Hauptsatz der
Integralrechnung.
1
Z
0
x·sin (nπx)dx , n∈N,
4
Z
−1
|x2−x−6|dx
18.5 Berechnen Sie I=
2
R
0
f(x)dx f¨ur f(x) =√
1 +x3n¨aherungsweise mit Trapez-Regel und Simpson-Regel, jeweils f¨urn= 4 undn= 8.
Sch¨atzen Sie die Fehler der Quadraturformeln ab. Dazu ist bekannt, dass M2= 2 und M4= 8 Schranken f¨ur die zweite bzw. vierte Ableitung vonf auf dem Intervall [0,2] sind.
18.6 Wandeln Sie das bestimmte Integral
2
R
0 x2
√
x2+4dx mittels der Substitution x= 2 sinht um in ein bestimmtes Integral mit der Integrationsvariablent, und vereinfachen Sie weitgehend.
Zusatz :Berechnen Sie das transformierte Integral.
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