{z } ≥0 −(an+4−an+5

Leibniz-Kriterium Die alternierende Reihe

∞

X

k=0

(−1)^ka_k =a0−a1+a2−a3± · · ·

konvergiert, falls (ak) eine monotone Nullfolge ist.

F¨ur den Reihenrest gilt

∞

X

k=n+1

(−1)^kak

≤ |a_n+1|.

Der Betrag einer alternierenden Summe kann also immer durch den Betrag des ersten Summanden abgesch¨atzt werden.

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Beweis

Die G¨ultigkeit des Cauchy-Kriteriums folgt aus folgender Absch¨atzung f¨ur die Partialsummen sn=Pn

k=0(−1)^kak

|s_m−s_n|=|a_n+1−a_n+2+· · · ±a_m| ≤ |a_n+1| (m>n) m→ ∞ Absch¨atzung f¨ur den Reihenrest

Beweis dieser Ungleichung (o.B.d.A. an+1≥0) (i) Obere Schranke:

s_m−s_n=a_n+1−(a_n+2−a_n+3)

| {z }

≥0

−(a_n+4−a_n+5)

| {z }

≥0

− · · · ≤a_n+1

(letzter Term −(a_m) oder−(a_m−1−a_m)) (ii) Untere Schranke:

(an+1−an+2)

| {z }

≥0

+ (an+3−an+4)

| {z }

≥0

+· · · ≥0≥ −a_n+1

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Beispiel

Illustration der Voraussetzungen des Leibniz-Kriteriums (i) Alternierende harmonische Reihe:

∞

X

n=1

(−1)ⁿ n = ln 2

Leibniz-Kriteriums anwendbar, da an= 1/n,n = 1,2, . . ., eine monotone Nullfolge ist

Absch¨atzung des Reihenrestes

n

X

k=1

(−1)^k k −ln 2

≤ 1

n+ 1

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(ii) Notwendigkeit der Voraussetzungen des Leibniz-Kriteriums:

Divergenz von

∞

X

n=1

(−1)ⁿn+ 1 n =−2

1+ 3 2−4

3 +5

4 − · · · , da a_n= (n+ 1)/n keine Nullfolge ist

Cauchy-Kriterium verletzt:

|s_n+1−s_n|=|a_n+1| ≥1 Divergenz von

∞

X

n=1

max

(−1)ⁿ

n ,(−1)ⁿ 2n

=−1 2 +1

2− 1 6+1

4 − · · · , da der Betrag der Summanden nicht monoton ist

Minorante P

n1/n bei Zusammenfassen von je 2 Summanden:

bn=a2n−1+a2n=− 1

2(2n−1)+ 1

2n = n−1

(2n−1)(2n) ≥ 1

8n, n>1

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