H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 –0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 –12–10–8–6–4–224681012 t Abb.16:DieFunktionsinc
=sin
DagegenexistiertdieFOURIER-Transformierte
(
)nichteinmal,und auch (
)=
(
)
=
0
=
0 =
(
1) istdeutlichverschiedenvon
(
).
§ 6: Ableitungen und Differ entialgleichungen
AlserstesBeispielf¨urdieN¨utzlichkeitvonFOURIER-undLAPLACE- TransformatinwollenwirindiesemParagraphendieTransformation derAbleitunguntersuchen;dieswirdunteranderemzueinerwichtigen AnwendungaufdieL¨osunglinearerAnfangswertproblemef¨uhrenund wirdunsimn¨achstenParagraphenauchhelfen,wichtigeEigenschaften derFOURIER-Transformationherzuleiten. Zun¨achstbrauchenwireinigeVorbereitungen¨uberdieVertauschbarkeit vonDifferentiationundIntegration:Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
a) Ableitungen unter dem Integralzeichen
Lemma:a)DieFunktion:[
][
!
]
"
# seistetig.Dannistauch $ :
%'&(&(&() &(&(&(*
[
]
"
# +
"
, -
(
)
stetig. b)Ist
zus¨atzlich
. -malstetigpartiellnachdererstenVariablen
differenzierbar,soist
/$
/(
)=
, -
0
/ 0
/(
)
. Beweis:a)Da[
]und[
!
]abgeschlosseneIntervallesind,ist
nicht nurstetig,sondernsogargleichm¨aßigstetig.Esgibtalsozujedem
1
2 0 ein
32 0,sodaßf¨urjedes
4
[
!
]gilt 5 (
1
)
(
2
)
561 falls
5 1
2
56
3 . F¨ursolche
1und
2istdann 5$ (
1)
$ (
2)
57
, -
5 (
1
)
(
2
)
561 (
! ). Da
! eineKonstanteist,l¨aßtsichdiesdurchWahlvon
1 =
8
9 (
! ) unterjedesvorgegebene
8
2 0dr¨ucken. b)F¨ur
:; =0ist $ (
+
: )
$ (
) :=
, -
(
+
:
)
(
) :
, undderrechtsstehendeIntegrandistnachdemMittelwertsatzderDif- ferentialrechnunggleich
< = <(
>?
)f¨urein
> zwischen
und
+
: .F¨ur
@ H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 :" 0gehtdiesgegen
<= <(
),unddadiepartielleAbleitungals stetigvorausgesetztwurde,giltwegena),daß $
A (
)=limBC
, -
0 0(
>
)
=
, -
0 0(
)
ist,wiebehauptet.F¨ur
.
2 1folgtdieBehauptunginduktiv. AlsersteAnwendungfolgteinSatz¨uberdieVertauschungderInte- grationsreihenfolge,derf¨urdieInversionderFOURIER-Transformation fundamentalseinwird: SatzvonFubini:F¨ureinestetigeFunktion
:[
][
!
]
"
# ist D
E F
, -
(
)
G H
=
, -
E F
D
(
)
G H
. Beweis:DasfolgtentwederausderzweidimensionalenIntegrations- theoriein[HM1],Kap.II,
I 6b),dabeideSeitendasIntegral [
DJ
]
K [
-J
, ]
(
)
berechnen,wobeidasRechteck[
][
!
]alsNormalbereicheinmal vomTypIundeinmalvomTypIIaufgefaßtwird.Esfolgtaberauch leichtausdemgeradebewiesenenLemma: F¨ur
7
7 sei $ (
)=
, -
E F
D
(
>
)
>
G H
. NachderzweitenAussagedesgeradebewiesenenLemmasistdann $
A (
)=
, -
(
)
,
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
L M alsoistdielinkeSeitederzubeweisendenGleichung D
E F
, -
(
)
G H
=
D
$
A (
)
=
$ (
)
$ (
)=
$ (
), unddasistnachKonstruktiongleichderrechtenSeite. DeritalienischeMathematikerGUIDOFUBINI(1879– 1943)arbeitetezun¨achstaufdemGebietderDiffe- rentialgeometrie,interessiertesichdannaberimmer mehrf¨uranalytischeThemenwieDifferentialgleichun- genundFunktionenmehrererkomplexerVer¨anderli- cher.1901wurdeerProfessorinCataniaaufSizilien, sp¨aterinGenuaundab1908inTurin,woerblieb,biser 1939trotzseinerangegriffenenGesundheitwegendes italienischenFaschismusnachUSAemigrierteundans InstituteforAdvancedStudyinPrincetonwechselte. DerhierzitierteSatzistzwarseinbekanntestes,aber ganzsichernichtseinbedeutendstesErgebnis. WirinteressierenunsimAugenblicknichtf¨urIntegrale¨uberendlicheIn- tervalle,sondernf¨urIntegrale¨uberdiegesamtereelleGerade;bevorwir dengeradebewiesenenSatzaufFOURIER-Integraleanwendenk¨onnen, m¨ussenwiralsonochdenGrenz¨ubergang
!
"
N und
" +
N durchf¨uhren.NachdemWEIERSTRASSschenKonvergenzkriteriumgibt eshierkeineProbleme,fallsdiebetroffenenIntegraleabsolutkonver- gentsind.Dief¨urunsinteressanteVersiondesSatzesvonFUBINIist also Satz:DiestetigeFunktion
:
#2"
# seiso,daßdieuneigentlichen Integrale
E F
5 (
)
5
G H
und
E F
5 (
)
5
G H
beidekonvergieren.Dannist
E F
(
)
G H
=
E F
(
)
G H
.
L H¨ohereMathematikIIWS2002/2003
b) T ransf ormationen und Ableitungen
DieAussagendesvorigenAbschnittsf¨uhrengeradewegsaufEigen- schaftenderFOURIER-Transformation;alsersteserhaltenwir Lemma:IstdieFunktion:
#"
O mindestens
. malstetigdifferenzier- barundexistierendieFOURIER-Transformationenvon
/ und
(
/) , soist
/
/
(
)=(
)
/
P /
(
) und
/
(
)=(
)
/
Q (
/)(
). Beweis:NachdemLemmaimvorigenAbschnittist
/
(
)
/=
/
/
R ( )
S =
(
)
/ ( )
(
=(
)
/
P /
(
), womitdieersteAussagebewiesenw¨are. F¨urdiezweitebegn¨ugenwirunsderEinfachheithalbermitdemFall . =1,ausdemdieallgemeineAussageperInduktionfolgt.F¨ur
. =1 ist
(
)=
( )
T
, unddiesesIntegrall¨aßtsichdurchpartielleIntegrationweiterumformen. Dazunehmenwir
( )alsdenerstenFaktorund
alsdenzweiten; letztererhatdieStammfunktion
=
,
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
L U undwirerhalten
( )
T
(
=
( )
T
V ( )
T
. DadieFOURIER-Transformiertevon
existiert,
( )f¨ur
"
WN gegen null;derersteSummandverschwindetalso,und¨ubrigbleibt
( (
)=
X
V ( )
(
=
T
V (
). DamitistdasLemmabewiesen. F¨urdieLAPLACE-Transformationgelten¨ahnlicheRegeln:Fallsdie Funktion
mindestens
. malstetigdifferenzierbaristunddieLAPLACE- TransformiertenihrerAbleitungenexistieren,istnachderRegel¨uber partielleIntegration Y
Z
V ( )
[ (
\ )=
0
V ( )
]
=
( )
]
0+
\
0
( )
]
(
=
(0)+
\
Y
Z ( )
[ (
\ ) unddamitinduktiv YZ(
/) ( )
[ (
\ )=
\
/YZ ( )
[ (
\ )
\
/1
(0)
\
/2
V (0)
T TT (
/1) (0). DiesistetwaskomplizierteralsbeiderFOURIER-Transformation,wo wirkeineFunktionswerteanderStellenullber¨ucksichtigenmußten, aberf¨urdieAnwendungaufDifferentialgleichungenistdasmeistein Vorteil: InderPraxishatmanesfastimmermitsogenanntenAnfangswertpro- blemenzutun,d.h.mankenntdenZustandeinesSystems(beschreiben durcheineFunktion
( )derZeit)zueinemgewissenZeitpunkt
0,den wirderEinfachheithalberalsnullannehmenwollen,undmankennt Naturgesetzef¨urdieweitereEntwicklungdesSystems.Letzterehaben meistdieFormvonDifferentialgleichungen;einAnfangswertproblem
L H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 bestehtdarin,daßmananhandderDifferentialgleichungundderbe- kanntenFunktionswertezumZeitpunkt
0dieweitereEntwicklungdes Systemsberechnenwill,d.h.dieFunktion
.EsgehtalsoumdieBe- stimmungeinerFunktion
^ (
)mitdenEigenschaften,daß ^(
_) ( )+
_1(
)
^(
_1) ( )+
TTT+
0(
)
^ (
)=
( ) istund ^ (0)=
^ 0
V^ (0)=
^ 1`
``
^
_1 (0)=
^_1. AnwendungderLAPLACE-Transformationmachtdarausdiealgebrai- scheGleichung \
_Y
Z^ ( )
[ (
\ )
\
_1^ 0
\
_2^ 1
TTT
^ (
_1) +
_1
a \
_1
Y
Z^ ( )
[ (
\ )
\
_2^ 0
\
_3^ 1
T TT
^ (
_2)
b
. . .
+
1
a \
Y
Z^ ( )
[ (
\ )
^ 0
b +
0
YZ^ ( )
[ (
\ )=
YZ ( )
[ (
\ ) f¨ur
Y
Z^ ( )
[ (
\ ),dieman–sodierechteSeiteexistiert–leichtnach Y
Z^ ( )
[ (
\ )aufl¨osenkann.R¨ucktransformation(meistanhandeinerTa- belle)f¨uhrtaufdieL¨osung
^ (
)desAnfangswertproblems.
c) Unged ¨ampfte Schwingungen
AlserstesBeispielbetrachtenwirdieextremeinfacheGleichungf¨ur eineMasseaneinerFeder,diesichreibungsfreiinc -Richtungbewegen kann: d Abb.17:EineschwingendeMasse
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
L NachdemHOOKEschenGesetzwirktaufdieseMasseeineR¨uckstell- kraft
ec (
),dieproportionalistzurAuslenkung
c (
)ausderRuhelage; nachdemzweitenNEWTONschenGesetzistdieseKraft(einezeitlich konstanteMasse
d vorausgesetzt)gleich
d ¨
c (
).Insgesamtistalso d ¨c ( )+
ec ( )=0oder¨c ( )+
e d
c (
)=0. AnwendungderLAPLACE-Transformationmachtdaraus \2
YZc ( )
[ (
\ )
\T
c (0)
Vc (0)+
e d
YZc ( )
[ (
\ )=0 oder YZc ( )
[ (
\ )=
\T c (0)+
Vc (0) \2+
f g. DieschwingendeMasse
d sollnat¨urlichpositivsein,undauch
e ist gr¨oßeralsnull,da
ec ( )dieR¨uckstellkraftist.Alsoist Y
Zc ( )
[ (
\ )=
c (0)
T
\ \2+
2+
Vc (0) \2+
2mit
=
he d. HiererkennenwirdiegeradeberechnetenLAPLACE-Transformierten YZ cos
[ (
\ )=
\ \2+
2und
YZ cos
[ (
\ )=
\2+
2 undfolgern,daß
c (
),fallsLAPLACE-transformierbar,dieForm c ( )=
c (0)cos
+
Vc (0) sin
habenmußmit
=
ie 9d .DieMasseschwingtalsounged¨ampftmit Frequenz
ie
9d .
d) Ged ¨ampfte Schwingungen
Unged¨ampfteSchwingungenwirimletztenAbschnittwirdmaninder Realit¨ateherseltenbeobachten;indenmeistenF¨allenf¨uhrenReibungs- effekteschließlichzumAbklingenderSchwingung.DieReibungskraft wirdimallgemeinenalsproportionalzurGeschwindigkeitangesetzt, d.h.dielinkeSeitederDifferentialgleichungwirddurcheinkonstan- tesVielfachesvonVc ( )erg¨anzt.DieselbeArtvonDifferentialgleichung
L j H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 k l
m Abb.18:EinelektrischerSchwingkreis erhaltenwirauch,wennwireineSpule,einenKondensatorundeinen WiderstandwieinAbbildung18hintereinanderschalten: DamithiereinStromfließt,nehmenwiran,daßderKondensatorzur Zeitpunkt
=0eineLadung
n 0enthalte;dieLadungzumZeitpunkt
sei
n ( ).Dannbetr¨agtderSpannungsabfallamKondensator o 1( )=
n ( ) k, deranderSpuleistnachderLENZschenRegelgleich o 2( )=
l
Vqp ()=
l ¨
n ( ), wobei
p ( )=
Vn ( )dieStromst¨arkebezeichnet,undamWiderstandhaben wirnat¨urlichnachdemOHMschenGesetz o 3( )=
mp ( )=
m
Vn ( ). DiesedreiSpannungenm¨ussensichzuNulladdieren,d.h. l ¨n ( )+
m
Vn ( )+
n ( ) k=0oder¨n ( )+
m l
Vn ( )+
n ( ) lk=0. UmbeiderL¨osungdieserGleichungkeinekompliziertenKonstanten mitschleppenzum¨ussen,schreibenwirdieGleichungbisaufweiteres inderForm ¨n ( )+
r
Vn ( )+
s
n ( )=0mit
r =
m lund
s =1 lk. Außerdemschreibenwir
^ (
)anstellevon
n ( ),umeseinerseitsmit gewohntenVariablenzutunzuhabenundandererseits,weilwirdiesen TypvonGleichungennochaufvieleandereProblemeanwendenk¨onnen,
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
L
t beidenendiegesuchteFunktionnichtalsLadunginterpretiertwerden kann.Wirinteressierenunsf¨urdasAnfangswertproblem ¨^ ( )+
r
V^ ( )+
s^ (
)=0mit
^ (0)=
^ 0und
V^ (0)=
^ 1. AnwendungderLAPLACE-Transformationergibt \2
YZ^ ( )
[ (
\ )
\^ 0
^ 1+
r
a \
YZ^ ( )
[ (
\ )
^ 0
b +
s
YZ^ ( )
[ (
\ )=0 unddamit YZ^ ( )
[ (
\ )=
\^ 0+
^ 1+
r^ 0 \2+
r\ +
s. EineLAPLACE-TransformiertedieserFormhabenwirbislangnochnicht gesehen;wirkennennurNennerderForm(
\ +
e )2 +
2 .IndieseRichtung f¨uhrtunseinerder¨altestenTricksderMathematik,die¨uber2000Jahre altequadratischeErg¨anzung: \2 +
r\ +
s =
R \ +
r 2
S2 +
s
r2 4. Falls
s
2r2
9 4k¨onnenwir
=
h s
r2 4setzenundhabendann Y
Z^ ( )
[ (
\ )=
\^ 0+
^ 1+
r^ 0 (
\ +
r
9 2)2+
2=
^ 0(
\ +
r
9 2) (
\ +
r
9 2)2+
2+
^ 1+
^ 0
r
9 2 (
\ +
r
9 2)2+
2. DiesebeidenSummandenerkennenwirals(bisaufkonstanteFaktoren) dieLAPLACE-Transformiertenvon
u
v 2 cos
und
u
v 2 sin
,d.h. ^ ( )=
^ 0
u
v 2 cos
+
^ 1+
^ 0
r
9 2
u
v 2 sin
=
u
v 2
w ^ 0cos
+
^ 1+
^ 0
r
9 2 sin
x . DerKondensatorentl¨adtsichalso,wieesphysikalischzuerwartenwar, aberderzeitlicheVerlaufistgegebendurcheineged¨ampfteSchwin- gung.DieD¨ampfungwirdmitwachsendem
r =
m
9l immerst¨arker wird,d.h.jegr¨oßerderWiderstandundjekleinerdieInduktivit¨atist, destogr¨oßeristdieD¨ampfung.Abbildung19zeigteinBeispieleiner ged¨ampftenSchwingungzusammenmitderAmplitudenfunktion
u
.
L H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Falls
s kleineristals
r2
9 4,k¨onnenwir
=
h r2 4
s setzenundhaben Y
Z^ ( )
[ (
\ )=
\^ 0+
^ 1+
r^ 0 (
\ +
r
9 2)2
2. DiesenAusdruckkennenwirsonochnichtalsLAPLACE-Transformierte einerFunktion,aberwirwissen,daßallgemein
2
2 =(
+
)(
) istundk¨onnenhoffentlichauchnochgen¨ugendBruchrechnungumdie Beziehung 1 (
\ +
r
9 2)
1 (
\ +
r
9 2)+
=2
(
\ +
r
9 2)2
2 nachzurechnen.DamitergibtsichdieLAPLACE-Transformiertezu YZ^ ( )
[ (
\ )=
\^ 0+
^ 1+
r^ 0 (
\ +
r
9 2)2
2 =1 2
w\^ 0+
^ 1+
r^ 0 (
\ +
r
9 2)
\^ 0+
^ 1+
r^ 0 (
\ +
r
9 2)+
x =1 2
w^ 0(
\ +
r
9 2
)+
^ 0
r
9 2+
^ 1+
^ 0
\ +
r
9 2
^ 0(
\ +
r
9 2+
)+
^ 0
r
9 2+
^ 1
^ 0
\ +
r
9 2+
x =1 2
w ^ 0+
^ 0
r
9 2+
^ 1+
^ 0
\ +
r
9 2
^ 0
^ 0
r
9 2+
^ 1
^ 0
\ +
r
9 2+
x =
^ 0
r
9 2+
^ 1+
^ 0
2
T1 \ +
r
9 2
^ 0
r
9 2+
^ 1
^ 0
2
T1 \ +
r
9 2+
. DieseSummandenk¨onnenwiralsLAPLACE-Transformierteidentifizie- ren:Da1
9\ dieLAPLACE-TransformiertederKonstantenEinsist,ist 1
9 (
\ +
)dievon
D] ;wirhabenhieralso YZ^ ( )
[ (
\ )=
^ 0
r
9 2+
^ 1+
^ 0
2
T
YZ
(
u
v 2
)
[ (
\ )
^ 0
r
9 2+
^ 1
^ 0
2
T
YZ
(
u
v 2+
)
[ (
\ )
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
L
-1
-0.5
0
0.5
1 24681012141618 Abb.19:DieFunktionen
y
z 5cos2
und
{y
z 5 undsomit ^ ( )=
^ 0
r
9 2+
^ 1+
^ 0
2
T
(
u
v 2
)
^ 0
r
9 2+
^ 1
^ 0
2
T
(
u
v 2+
)
. WegenderPositivit¨atvon
s ist =
h r2 4
s
6
h r2 4=
r 2; dahersinddieszweiExponentialfunktionen,dief¨ur
"N gegennull gehen,derKondensatorentl¨adtsichindiesemFallalsoohneSchwin- gungengem¨aßeinerSummezweierabfallenderExponentialfunktionen. DieBedingung
s
6
u2 4¨ubersetztsichindiesemFallin 1 l
k
6
m2 l2oder
m2
hl k; wennderWiderstandzugroßist,d¨ampfteralsosostark,daßeskeine Schwingungskomponentemehrgibt. BleibtnochderFall,daß
s =
r2
9 4ist.Dannist Y
Z^ ( )
[ (
\ )=
\^ 0+
^ 1+
r^ 0 (
\ +
r
9 2)2=
^ 0(
\ +
r
9 2) (
\ +
r
9 2)2+
^ 1+
^ 0
r
9 2 (
\ +
r
9 2)2 =
^ 0 \ +
r
9 2+
^ 1+
^ 0
r
9 2 (
\ +
r
9 2)2.
L@ H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Da1
9\ dieLAPLACE-TransformiertederEinsistund1
9\2 diederIden- tit¨at,istsomit ^ ( )=
R ^ 0+
R ^ 1+
^ 0
r 2
S
S
|
} 2
ProdukteinerlinearenFunktionundeinerabfallendenEyponentialfunk- tion.Abbildung20zeigtzweisolcheFunktionen,einemitansteigendem undeinemitabfallendemlinearenFaktor. -2-1012345 51015202530 Abb.20:DieFunktionen(3
{ 2
)
y
z 5
e) Erzwungene Schwingungen
ImStromkreisausdemletztenAbschnittfloßnurdeshalbeinStrom, weilderKondensatorausirgendeinemGrundbereitsaufgeladenwar; ¨ublicherw¨are,daßeinStromfließt,weilderStromkreiseineStrom- quelleenth¨alt.Wirerg¨anzendeshalbdenStromkreisausAbbildung18 durcheineWechselstromquellemitFrequenz0;derEinfachheithal- berw¨ahlenwirdiePhaseso,daßdieserWechselstromdurcheinerei- neCosinusfunktionderForm
~ 0cos
0
beschriebenwerdenkannmit ~ 0
0
2 0.DieDifferentialgleichungwirddannzu l ¨n ( )+
m
Vn ( )+
n ( ) k=
~ 0cos
0
, waswirwiederkurzschreibenals ¨^ ( )+
r
V^ ( )+
s^ (
)=
! cos
0
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
jM mit ^ ( )=
n ( )
r =
m l
s =1 l
kund
! =
~ 0 l. AnwendungderLAPLACE-Transformationf¨uhrtauf (
\2 +
r\ +
s )
YZ^ ( )
[ (
\ )
\^ 0
^ 1
r^ 0=
!\ \2+
2 0 unddamit YZ^ ( )
[ (
\ )=
\^ 0+
^ 1+
r^ 0 \2+
r\ +
s+
!\ (
\2+
2 0)(
\2+
r\ +
s ). DieUmkehrungderLAPLACE-TransformationdeserstenSummanden kennenwir:DasistdieL¨osungdergeradebetrachtetenDifferential- gleichung.MitdemzweitenSummandenk¨onntenwirumgehen,wenn nureinerderbeidenFaktorenimNennerst¨unde;dannh¨attenwirim wesentlichendieLAPLACE-TransformierteeinerCosinusfunktion. GenaudasgleicheProblemh¨attenwir,wennwireineStammfunkti- ondeszweitenSummandensuchenw¨urden,undindieserSituation w¨ußtenwirauch,wiewirweitervorgehenm¨ußten:DurchPartialbruch- zerlegungk¨onntenwirdenIntegrandenineinfachereBr¨uchezerlegen, derenStammfunktionenwirkennen.DieserAnsatzderPartialbruch- zerlegungf¨uhrtauchbeiderLAPLACE-TransformationoftzumErfolg: FallsdiebeidenFaktorendesNennersverschiedensind,k¨onnenwirmit geeignetenKonstanten
34
# schreiben !\ (
\2+
2 0)(
\2+
r\ +
s )=
\ +
\2+
2 0
+
\ +
3 \2+
r\ +
s. FallsbeideNennergleichsind,d.h.wenn r =0und
s =
2 0 ist,funktioniertdiesnat¨urlichnicht;diesenFallwerdenwirvorl¨aufig zur¨uckstellen.MultiplikationdesobigigenAnsatzesmitdemHauptnen- nerf¨uhrtaufdiePolynomgleichung !\ =(
\ +
)(
\2 +
r\ +
s )+(
\ +
3 )(
\2 +
2 0) =(
+
)
\3 +(
+
r +
3 )
\2 +(
r +
s +
2 0)
\ +
s +
32 0.
j H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Koeffizientenvergleichzeigt,daßrechtsalleKoeffizientenaußerdem von
\ verschwindenm¨ussen.BeimerstenKoeffizientenbedeutetdies, daß =
seinmuß,undbeimletztenerhaltenwir 3 =
s 2 0
. DamitbleibennurnochzweiGleichungenf¨ur
und
¨ubrig: r +
w 1
s 2 0
x =0und(
s
2 0)
+
r
=
! . Falls
r nichtverschwindet,f¨uhrtdieersteGleichungzu =
s 2 0
1 r
T
=
s
2 0 r2 0
T
, unddamitistnachderzweitenGleichung (
s
2 0)2 r2 0+
r
=
! oder =
! (
2 0)2 u2 0+
r=
!r2 0 (
s
2 0)2+
r2
2 0. Damitsindauch
und
3 bekannt: =
=
s
2 0 r2 0
T
=
! (
s
2 0) (
s
2 0)2+
r2
2 0 und 3 =
s 2 0
=
!rs (
s
2 0)2+
r2
2 0
. BleibtnochderFall
r =0zubehandeln.DannbleibtvomGleichungs- systemf¨ur
und
nurnoch w 1
s 2 0
x =0und(
s
2 0)
=
!
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
jU ¨ubrig.Ist
s
; =
2 0,folgt,daß =
3 =0und
=
=
! s
2 0
seinmuß,wasoffensichtlichgenaudieobigenFormelnimSpezialfall r =0sind.F¨ur
s =
2 0sindwirindemFall,denwirzur¨uckgestellt habenundsehennocheinmal,daßhierderobigeAnsatznichtzuZiel f¨uhrt,dadiezweiteGleichungzu0
T
=
!
; =0wird.Inallenanderen F¨allenkennenwirnunreelleZahlen
3 ,sodaß !\ (
\2+
2 0)(
\2+
r\ +
s )=
\ +
\2+
2 0+
\ +
3 \2+
r\ +
s ist.VomerstenSummandenwissenwir,daß Y
cos
0
+
0sin
0
=
\ +
\2+
2 0 ist;denzweitenSummandenm¨ussenwirwieobendurchquadratische Erg¨anzung \2 +
r\ +
s =
R \
r 2
S2 +
s
r2 4 umformen,undgenauwiedorth¨angtesvomVorzeichenvon s
r2 4 ab,obwirged¨ampfteSchwingungenmitFrequenz =
h s
r2 4 oderabfallendeEyponentialfunktionenerhalten.InjedemFallistdie L¨osungLinearkombinationeinerreinenSchwingungmitdererregen- denFrequenz
0,imelektrischenSchwingkreisalsoderFrequenzder Wechselstromquelle,undeinerFunktion,dief¨ur
"N gegennull geht.Langfristigsetztsich,wieauchAbbildung21zeigt,dieerregende Frequenzdurch. Bleibtnochderzur¨uckgestellteFall,daß
r =0und
s =
2 0ist.Dann m¨ussenwireineFunktionfinden,derenLAPLACE-Transformiertegleich !\ (
\2+
2 0)2
j H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 -2-10123 51015202530 t Abb.21:DieFunktioncos( )+3
y
v 6sin5
ist.DieseFunktionsiehtso¨ahnlichauswiedieAbleitungvon1
9 (
\2 +
2 0); inderTatist !\ (
\2+
2 0)2=
\
!
9 2 \2+
2 0. DieFunktion,diehierabgeleitetwird,istdieLAPLACE-Transformierte von ( )=
! 2
0sin
0
, undnachAussageb)desLemmasaus
I 6aist(soferndasIntegralabsolut konvergiert)allgemein \
Y
Z ( )
[ (
\ )=
\
0
( )
]
=
0
\
( )
]
=
0
( )
T(
)
T
]
=
Y
Z
( )
[ (
\ ). Alsoist !\ (
\2+
2 0)2=
Y
! 2
0
T
sin
0
(
\ ), undwirhabenauchdiesenFallgel¨ost.DieFunktion
sin
0
istin Abbildung22zusehen;ihreAmplitudesteigtimmerweiteran. DaunbegrenztansteigendeFunktioneninAnwendungenseltenetwas gutesbedeuten,sprichtmanhiervoneinerResonanzkatastrophe:Die
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
jL -10-505
10 246810 Abb.22:DieFunktion
sin5
erregendeSchwingunghatdieselbeFrequenzwiederSchwingkreis,und dasf¨uhrt,beiAbwesenheiteinerjeglichenD¨ampfung,zueinerkatastro- phalenAufschaukelung.AuchbeiD¨ampfungistResonanzzubeobach- ten:DieobenberechnetenKoeffizienten
3 ,habenallesamtden Nenner (
s
2 0)2 +
r22 0, werdenalsoumsogr¨oßer,jen¨aher
s bei
2 0liegt,jedochverhindert derD¨ampfungsterm
r ,daßderNennerjewirklichverschwindet.Bei kleinem
r kanndieResonanzbeiundum
s =
2 0allerdingsinder PraxistrotzdemproblematischundinExtremf¨allensogarkatastrophal sein. MitdenFormeln,dieschonhaben,k¨onntenwirnunleichtdievollst¨andi- genL¨osungenf¨urjedenderbehandeltenF¨allehinschreiben,aberdie bisherigeDiskussionzeigt,daßdasdochzusehrlangenFormelnf¨uhren w¨urde.DieLAPLACE-Transformationistzwarsehrgutgeeignet,umdie L¨osungeineskonkretenAnfangswertproblemshinzuschreiben–dann sind
3 keinekompliziertenAusdr¨ucke,sonderneinfachreelle Zahlen–,aberf¨urabstraktere
¨ Uberle
gungenf¨uhrtsiezueherun¨uber- sichtlichenErgebnissen.Wirwerdendaherimn¨achstenKapitelalterna- tiveMethodenkennenlernen,diemehr¨uberdieStrukturderL¨osungen vonDifferentialgleichungenaussagen.
