H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 und

0

sin

sin

=

0falls

=

2falls

=

=0 0falls

==0 ist,sowie

0

cos

sin

=0. EineganzeReihedieserIntegrationensindtrivial,undallesindreinreell durchf¨uhrbar.DennochspartderUmweg¨ubersKomplexevielZeit.

d) Harmonische Analyse trigonometrischer P olynome

DieFunktionen

bildennat¨urlichkeineBasisvon

(

),ge- nausowenigwiedieFunktionencos

undsin

eineBasisvon (

)bilden:BasisdarstellungensindschließlichstetsendlicheLi- nearkombinationen,undeineendlicheLinearkombinationvontrigono- metrischenoderExponentialfunktionenistinsbesonderestetig. Trotzdemistesganzn¨utzlich,zurDemonstrationderweiterenVorge- hensweisezun¨achstdieUntervektorr¨aumezubetrachten,dievondiesen Funktionenerzeugtwerden: Definition:a)DerVektorraum

(

)allerkomplexertrigonometri- scherPolynomederPeriode

istdervondenFunktionen

mit

aufgespannteUntervektorraumvonL2(

). b)DerVektorraum

(

)allerreellertrigonometrischerPolynomeder Periode

istdervondenFunktionencos

f¨ur

0unddenFunk- tionensin

mit

aufgespannteUntervektorraumvonL2(

). DiegeradebewiesenenOrthogonalit¨atsrelationenk¨onnenwirdannauch soformulieren,daßdieFunktionen

mit

eineOrthonormal- basisvon

(

)bilden,w¨ahrenddieFunktionen1

2cos

und 2sin

mit

eineOrthonormalbasisvon

(

)bilden. Zumindestf¨urFunktionenaus

(

)und

(

)istdamitklar,wie mansieinreineSchwingungenzerlegenkann:Istallgemeinein

Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen

! EUKLIDischeroderHERMITEscherVektorraumund

" eineOrthonor- malbasisvon,sol¨aßtsicheinbeliebigerVektor

#$

gem¨aß #$ =

% &'()(

#$

#+* )

#* als(endliche)LinearkombinationderBasisvektorenausdr¨ucken. F¨ur

,

(

)istsomit , ( )=

%

(-

.

mit

.=

/, ( )

0 =1

1

0

, ( )

2

, undf¨ur

,

(

)ist , ( )=

. 0+

3 % =1

4cos

+

3 % 5 =1

* 5sin

mit . 0=

/, ( )1

0 =1

1

0

, ( )

4=

2

6

/, ( )

2cos

0 =2

0

, ( )cos

* 5=

2

6

/, ( )

2sin

0 =2

0

, ( )sin

. DieSummenindiesenFormelnsindnat¨urlichnurformalunendlich;da eintrigonometischesPolynomnachDefinitionendlicheLinearkombina- tionderBasisfunktionenist,k¨onneninjederdieserSummenh¨ochstens endlichvieleSummandenvonNullverschiedensein. DadieFormelnf¨urreelletrigonometrischePolynomedeutlichunan- genehmersindalsdief¨urkomplexe,lohntessichauchoft,f¨urreelle FunktionendenUmweg¨uberdasKomplexezugehen.Dasistimmer

7 H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 m¨oglich,dennaufGrundderEULERschenBeziehungenistjedesreelle trigonometrischePolynomgleichzeitigeinkomplexes: 4 0+

8 % =1

4cos

+

9 % 5 =1

* 5sin

=

4 0+

8 % =1

4

+

2

2+

9 % 5 =1

* 5

5

2

5

2

: =

4 0+

8 % =1

4 2

+

8 % =1

4 2

2

<;

:

9 % 5 =1

* 5 2

5

+

:

9 % 5 =1

* 5 2

2

5

=

4 0+

8 % =1

4;

:

* 2

+

8 % =1

4+

:

* 2

2

. Schreibtmandiesinder¨ublichenWeisealskomplexestrigonometri- schesPolynom

=.

,istalso .=

>@? A

1 2(

4

;

:* )f¨ur

B 0 4 0f¨ur

=0 1 2(

4 2

+

:* 2

)f¨ur

C 0. Insbesonderesind

.und

. 2

f¨uralle

komplexkonjugiertzueinander; . 0istreelundsomitzusichselbstkonjugiert.AusobigenFormelnfolgt auch,daßumgekehrt 4=2

DE.und

* 5=^;2

FG.5 ist;mankannalsoleichtzwischenreellerundkomplexerDarstellung umrechnen. Damitistauchklar,daß

(

)=

(

)

H

(

)ist;diereellen trigonometrischenPolynomesindalsogenaujenekomplexetrigono- metrischePolynome,dienurreelleWerteannehmen Gef¨uhlsm¨aßigw¨urdemantrigonometrischePolynomenichtwohlnicht sodefinierenwieindiesemAbschnitt,sondernalsPolynomeinsin

undcos

.AlskleineAnwendungobiger

¨ Uberle gungfolgt,daßdies inderTattrigonometrischePolynomeimSinnederhießigenDefinition sind,dennwegenderEULERschenFormelistklar,daßeskomplexe

Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen

I trigonometrischePolynomesind,undnat¨urlichnehmensienurreelle Wertean.

e) Harmonische Analyse periodischer Funktionen

DieBedingung,daß

, ( )alsSummeendlichvielerreinerSchwingungen gegebenseinsoll,schr¨anktdieBrauchbarkeitobigerResultateleider erheblichein:EinperiodischerRechteckimpulsetwal¨aßtsichsonicht behandeln. Wirk¨onnenaberjedesbeliebigeElementvonL2(

)dieSkalarpro- dukte

.=(

,

)berechnenundhoffen,daßsief¨ureineharmonische Analysevon

, n¨utzlichsind;wirdefinieren Definition:DieFOURIER-TransformierteeinerFunktion

, L2(

) istdieFunktion J, :

>LKMKMKM? KMKMKMA

N

ON

(

,

)=1

0

, ( )

2

. JEANBAPTISTEJOSEPHFOURIER(1768–1830)begann zun¨achstmiteinerAusbildungzumPriester,beendete diesejedochnicht,sondernwurdestattdessenMathema- tiklehrer.1793traterdemlokalenRevolutionskomittee bei,1798begleiteteerNapoleonaufdessen

¨ Agypten-

feldzug.NachdemR¨uckzugaus

¨ Agypten

ernannteihn dieserzumPr¨afektenvonIs`ere;dortinGrenoblebe- gannermitseinenArbeiten¨uberW¨armeleitung,aus denendieFOURIER-Reihenhervorgingen.NachNapo- leonsendg¨ultigerVertreibungwurdeFOURIER1817in dieAkademiederWissenschaftengew¨ahlt;1822wurde erSekret¨ardermathematischenSektion. (Manbeachte,daßdieseFOURIER-Transformierteeinerperiodischen Funktionnurauf

definiertist:PeriodischeFunktionenhabenkein kontinuierlichesFrequenzspektrum,sondernnurOberschwingungenzu ganzzahligenVielfachenderGrundfrequenz).

P H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 AlskomplexeFOURIER-Reihevon

, bezeichnenwirdiezun¨achstnur formaleunendlicheSumme 3 % =

2

3

J, (

)

2

, alsreelleFOURIER-Reihevon

,

(

)entsprechend . 0+

3 % =1

4cos

+

3 % 5 =1

* 5sin

mit

. 0

4und

* 5wieimvorigenAbschnitt. Nat¨urlichistimAugenblickwederklar,obdieseSummen¨uberhaupt existieren,d.h.also,obdieangegebenenReihenf¨uralle(oderzumin- destfastalle)

konvergieren,nochistklar,obsiedort,wosie konvergieren,gegenderFunktionswert

, ( )konvergieren.

§ 3: Erste Beispiele v on F ourier -Reihen

BevorwirunssolchenallgemeinenFragenzuwenden,wollenwir zun¨achstanhandeinigerBeispielesehen,waswirrealistischerweise erwartenk¨onnen.

a) Rechenr egeln

Alsersteswollenwiruns¨uberlegen,wiewirbeiderBerechnung vonFOURIER-Koeffizienten¨uberfl¨ussigenRechenaufwandvermeiden k¨onnen. Dasgr¨oßtePotentialf¨urVereinfachungenbietenSymmetrienderFunkti- on.DiebeidenwichtigstenSymmetriensinddieEigenschaften,gerade oderungeradezusein:EineFunktion

, :

N

istgerade,wenn , (^;

)=

, ( )istf¨uralle

;sieistungerade,wenn

, (^;

)=^;

, ( ) istf¨uralle

.AuchSymmetrienbez¨uglichandererPunkteals

=0 lassensichgelegentlicherfolgreichausn¨utzen. Aprioril¨aßtsichkeineSymmetriebez¨uglich

=0f¨urdieBerechnung derhierinteressierendenbestimmtenIntegralemitGrenzen0und

Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen ausnutzen;dawireshierabermitperiodischenFunktionenzutunhaben, sindwirnichtandieseIntegrationsgrenzengebunden: Lemma:IstdieFunktion

Q periodischmitPeriode

,soistf¨urjedes R

0

Q (

)

=

S+

S

Q (

)

. Beweis:Wirk¨onnen

R schreibenals R =

+

R 0mit0

TR 0^C

und

. WegenderPeriodizit¨atvon

, ist S+

S

Q (

)

=

S 0+

S 0

Q (

)

; esreichtalso,denFall0

TRC

zubetrachten.Hierf¨urist S+

S

Q (

)

=

S

Q (

)

+

S+

Q (

)

=

S

Q (

)

+

S 0

Q (

)

=

S 0

Q (

)

+

U

S

Q (

)

=

0

Q (

)

. Speziellf¨ur

R =^;

2istalsoauch 4 0=1

V 2 2

V 2

, ( )

und

4=2

V 2 2

V 2

, ( )cos

f¨uralle

,und * 5=2

V 2 2

V 2

, ( )sin

f¨uralle

.

W H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Istnun

, eineungeradeFunktion,sosindauchalleFunktionen , ( )cos

ungerade,d.h. 4 0=1

V 2 2

V 2

, ( )

=0und

4=

V 2 2

V 2

, ( )cos

=0 f¨uralle

.DieFunktion

, ( )sin

istProduktzweierungerader Funktionenundsomitgerade;diesliefertdieBeziehung * 5=2

V 2 2

V 2

, ( )sin

=4

V 2 0

, ( )sin

, diejenachderspeziellenFormvon

, entwedern¨utzlichistoderauch nicht.AufjedenFallgibtesaberbeieinerungeradenFunktionin derFOURIER-ReihekeineCosinusterme(einschließlichdeskonstanten Termszucos0=1);nurSinustermek¨onnenvonNullverschiedene Koeffizientenhaben. F¨ureinegeradeFunktion

, ist

, ( )

6sin

alsProdukteinergeraden undeinerungeradenFunktionungerade,d.h. * 5=2

V 2 2

V 2

, ( )sin

=0 f¨uralle.SomitsindkeineSinustermem¨oglich;nurCosinusterme(ein- schließlichdeskonstantenTerms)k¨onnenauftreten.Weiterist

V 2 2

V 2

, ( )cos

=2

V 2 0

, ( )cos

, waswiederuminAbh¨angigkeitvonderspeziellenGestaltvon

, entwe- dern¨utzlichistoderauchnicht. NachdiesenVorbereitungenkommenwirnunendg¨ultigzukonkreten Beispielen;daserstedavonistgeradeinderDigitaltechnikvongroßer Bedeutung:

Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen

X

b) P eriodische Rechteckimpulse

HierbetrachtenwirdieFunktion , ( )=

YZ f¨ur0

T

C

2 ;Z f¨ur

2

T

C

mit

, ( +

)=

, ( )f¨uralle

; offensichtlichist

, L

(

). Außerdemist

, eineungeradeFunktion,d.h.esgibtnurSinusterme. F¨urdieseist * 5=2

0

, ( )sin

=2

[ \^]

V 2 0^Z

sin

;

V 2

Z sin

_ `^a

=2

Z

b ;cos

2^;1 +cos

;cos

2

c =2

Z

b (^;1)

5 +1 +1+1+(^;1)

5 +1

c , dennda

=2

d ,ist

2=

d undcos

d =(^;1)

5 .Somitist * 5=

0f¨urgerade 2

Z

64 =4

Z df¨urungerade und

egf

(

)=4

Z d

3 % 5 =1

sin(2

;1)

(2

;1). Wirsolltennichtzuoptimistischseinunderwarten,daßdieseFOURIER- ReiheinjedemPunkt

gegen

, ( )konvergiert:Wirh¨atteneinenRecht- eckimpulsmitPeriode

imIntervall[0

)beispielsweiseauchdurch Q ( )=

YZ f¨ur0

T

T

2 ;Z f¨ur

2

C

C

definierenk¨onnen.

, ( )und

Q (

)unterscheidensichimIntervall[0

] nuranderStelle

=

2unterscheiden,wasbeiderBerechnungder Integralef¨urdieFOURIER-KoeffizientenkeineRollespielt.Diebeiden

h H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 FunktionenhabendaherdieselbeFOURIER-Reihe,unddiesekann,selbst wennsiekonvergiert,anderStelle

=

2nichtsowohlgegen

, (

2)=^;Z und

Q (

2)=Z konvergieren.(Tats¨achlichkonvergiertsie,da

2=

d istundderSinusbeiallenVielfachenvon

d verschwindet,gegenden MittelwertnullderbeidenFunktionswerte.) –1.2

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 2468101214 t Abb.5:FOURIERpolynomef¨urRechteckimpulse ExperimentellkonvergiertdieberechneteReiheabgesehenvonden Sprungstellenanscheinendrechtgut:Abbildungf¨unfzeigtdieTeilsum- menmitoberenGrenzen13und20Summanden,diedieFunktion

, offensichtlichimmerbesserann¨ahern.Geradef¨urdiegr¨oßerenWerte istdiesesBildnat¨urlichetwasgest¨ortdurchnumerischeFehlerundali- as-EffektederRastergraphik;keinesolcheSt¨orungsindallerdingsdie

¨ Uberschwingungen

andenUnstetigkeitsstellenvon

, :Diesessogenann- teGIBBS-Ph¨anomenisteinemathematischunvermeidbareEigenschaft vonFOURIER-Reihenst¨uckweisestetigerFunktionen,mitderwirunsin K¨urzen¨aherbesch¨aftigenwerden. ImAugenblickseinurkurzaufeineAnwendungdieser

¨ Uberschwin-

gungenhingewiesen:DiePixelaufeinemComputerbildschirmwerden durchRechteckimpulsegeschaltet,wobeiausphysikalischenGr¨unden

Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen

W i OberschwingungenhoherFrequenzbeider

¨ Ubertragung

sostarkge- d¨ampftwerden,daßf¨urallepraktischenZweckenursoetwaswieeine endlicheTeilsummederFOURIER-Reihe¨ubertragenwird.DieinAbbil- dungf¨unfzusehendenh¨oherfrequentenAnteilelassensichmiteinem Funkempf¨angerauffangenundk¨onnendannzurRekonstruktiondes Bildschirminhaltsverwendetwerden;zumindestbeisensitivenAnwen- dungenmußeinComputerdahersoabgeschirmtsein,daßvondieser StrahlungennichtsausdemGeh¨ausedringt.BeidenStandardgeh¨ausen hatmanhiernichtdiegeringsteChance;ComputerimHochsicherheits- bereichbrauchenihreeigenenSpezialgeh¨ause.

c) S ¨agezahnimpulse

HierbetrachtenwirdieFunktion , ( )=

4^;

2f¨ur0^C

C

und

, (0)=0, periodischfortgesetztmitPeriode

aufganz

. DiesisteineungeradeFunktion,dennf¨ur0^C

C

ist , (^;

)=

, (^;

+

)=

4^;

(

;

+

) 2=

2^;

4=^;

, ( ), und

, (0)=0,wieessichf¨ureineungeradeFunktiongeh¨ort.Die FOURIER-Reihevon

, enth¨altdahernurSinusterme. ZuderenBerechnungsetzenwirwie¨ublich =2

d underhaltendenKoeffizientenvonsin

als * 5=2

0

, ( )sin

=2

0

j 4^;

2

k sin

=2

6

4

0

sin

;2

61 2

0

sin

=^;1

U

0

sin

,

W H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 dadasIntegraleinerSinusfunktion¨ubereineodermehrerevollePeri- odenverschwindet.ZurweiterenRechnungwendenwirdieMethode derpartiellenIntegrationan:

ml

(

)

6

n$ ( )

=

l (

)

6

$ (

)^;

nl ( )

6

$ (

)

ergibtf¨ur

l (

)=

und

n$ (

)=sin

mit

$ =^;15cos

dieBeziehung sin

=^;

cos

+1

cos

=^;

cos

+1 22sin

+

o . Somitist * 5=^;1

j ;

6cos

+0

6cos0 +sin

;sin0 22

k =1 cos(

62

d )=1 und e f( )=

3 % 5 =1

sin

. WiederhabenwirkeineAhnung,obundgegebenenfallswohindiese Reihekonvergiert–außerbeidenganzzahligenVielfachenvon

2, denndortverschwindenalleSinusfunktionenindenZ¨ahlern,sodaßdie Summegleichnullist. Abbildung6zeigtdieTeilsummenmit1,3und20Summandenf¨ur =4;anscheinendn¨aherndiesedieFunktionrechtgutan,allerdings gibteswieder

¨ Uberschwingungen

andenSprungstellen,dennf¨ur

=4 habenwireinenS¨agezahn,derzwischen+1und-1hin-undherpendelt.

d) Der Sinus h yperbolicus

AlsletztesBeispielberechnenwirdieFOURIER-Reihevon , ( )=sinh

f¨ur

;

d

C

Td ,periodischfortgesetztmitPeriode2

d .

Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen

W! –1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1 24681012 t Abb.6:FOURIERpolynomef¨urdieS¨agezahnschwingung DieKoeffizientenderkomplexenFOURIER-Reihesind .=1 2

d

2

p 0

, ( )

2

. MandarfnunaberkeineswegsdenFehlermachen,darauszufolgern, daß

? ? ?

.=1 2

d

2

p 0

sinh

2

? ? ?

sei,denn

, ( )stimmtnurimIntervall(^;

d

d ]mitsinh

¨uberein;f¨ur d

C

T 2

d ist

, ( )=sinh(

;2

d ).FallswirdiemitFragezeichen verseheneFormelbenutzen,berechnenwirtats¨achlichdieFOURIER- Reihevon Q ( )=sinh

f¨ur0^C

T 2

d ,periodischfortgesetztmitPeriode2

d , unddasist,wiedieAbbildungensiebenundachtzeigen,einev¨ollig andereFunktion:

, isteineungeradeFunktionmiteinemWertebe- reich,derdurchdiebeidenExtrema

q sinh

dr

q 11

54873936be-

W7 H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 -10-505

10 -20-101020 Abb.7:DieFunktion

s (^t ) 0

50100

150

200

250 -20-101020 Abb.8:DieFunktion

u (

t ) grenztist,

Q dagegeneineFunktionmitWertenzwischennullund sinh2

d

r 267

7448943,diewedergeradenochungeradeist. WiegroßderUnterschiedzwischendenbeidenFunktionenwirklichist, siehtmanambesten,wennmansiewieinAbbildungneunineingemein-

Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen

WI samesKoordinatensystemabbildet:DiefettgezeichnetenKurvenst¨ucke sindbeidenFunktionengemeinsam,unddort,wo

, und

Q nicht¨uberein- stimmen,ist

, durcheineausgezogene,

Q durcheinegestrichelteKurve dargestellt. -100

50100

150

200

250 -20-101020 Abb.9:

s (^t )und

u (

t )imgleichenKoordinatensystem WennwirmiteinerIntegrationvon0bis2

d arbeitenwollen,m¨ussen wiralsodasIntegralinzweiTeilintegraleaufteilen: 2

p 0

, ( )

2

=

p 0

sinh

2

+

2

p psinh(

;2

d )

2

ZumGl¨uckwissenwiraberaus

v 3a),daßwirbeieinerperiodischen Form¨uberjedesbeliebigePeriodenintervallintegrierend¨urfen,ohne etwasamErgebniszuver¨andern:Daswurdedortzwarnurf¨urreelle Integralegezeigt,aberdaeinkomplexesIntegralaufzweireellezur¨uck-

WP H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 gef¨uhrtwerdenkann,giltesauchdaf¨ur.Alsoistauch .=1 2

d

p 2

p

, ( )

2

=1 2

d

p 2

psinh

2

=1 2

d

p 2

p

w;

2

2

2

=1 4

d

p 2

p

x

(1

2

);

2

(1+

)

y =1 4

d

b

(1

2

) 1^;

:

z{z{z{z

p 2

p

;

2

(1+

) ;(1+

: )

z{z{z{z

p 2

p

c =1 4

d

b

p

2

p ;

2

p

p 1^;

:+

2

p

2

p ;

p

p 1+

:

c =(^;1)

4

d(

p ;

2

p )

j 1 1^;

:

;1 1+

:

k =(^;1)

sinh

d 2

d(1+

: )^;(1

;

: ) 1+

2=sinh

d d

6(

;1)

6

:

2+1. DiekomplexeFOURIER-Reiheistsomit

e|f

(

)=

:sinh

d d

3 % =

2

3

(

;1)

2+1

. DaderKoeffizientvon

eineungeradeFunktionvon

ist,fallenbeim Einsetzenvon

=cos

+

: sin

dieCosinustermeweg,w¨ahrend sichdieSinustermezu

undzu

;

gegenseitigverdoppeln;wirerhalten alsodiereelleForm

e|f

(

)=

:sinh

d d

3 % =

2

3

(

;1)

2+1

: sin

=^;2sinh

d d

3 % =0

(

;1)

2+1sin

, diegleichzeitigdiereelleFOURIER-Reihevon

, ist. BeiderdirektenBerechnung¨uberdieKoeffizientenformelnf¨urdiereelle Reihew¨arendieVor¨uberlegungenaus

v 3a)ebenfallsn¨utzlichgewesen:

Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen

W Da

, eineungeradeFunktionist,tretennurSinustermeauf,undderen Koeffizientensind * 5=1 d

p 2

psinh

sin

. DerIntegrandhieristinExponentialformgleich

w;

2

2

6

5

w;

2

5 2

:=

(1+

5 ) 4

:

;

(1

2

5 ) 4

:

;

2

(1

2

5 ) 4

:+

2

(1+

5 ) 4

:, unddieStammfunktiondesSummanden

} (1

}

5 ) 4

:ist

} (1

}

5 ) q 4

: (1

q: ). DieStammfunktiondesIntegrandenistdaher

(1+

5 ) 4

: (1+

: )

;

(1

2

5 ) 4

: (1

;

: )

;

2

(1

2

5 ) ;4

: (1

;

: )+

2

(1+

5 ) ;4

: (1+

: ) =

(1+

5 );

2

(1+

5 ) 4

: (1+

: )

;

(1

2

5 );

2

(1

2

5 ) 4

: (1

;

: ), d.h.

* 5=

(1+

5 );

2

(1+

5 ) 4

d

: (1+

: )

z~z{z{z

p 2

p

;

(1

2

5 );

2

(1

2

5 ) 4

: (1

;

: )

z~z{z{z

p 2

p =

/

p(1+

5 );

2

p(1+

5 )⁰ ;

/

2

p(1+

5 );

p(1+

5 )⁰ 4

d

: (1+

: ) ;

/

p(1

2

5 );

2

p(1

2

5 )⁰ ;

/

2

p(1

2

5 );

p(1

2

5 )⁰ 4

p

(1

2

5 ) =(^;1)

5/

p ;

2

p ;

2

p +

p0

4

d

: (1+

: )

;(

;1)

5/

p ;

2

p ;

2

p +

p0

4

d

: (1

;

: ) =(^;1)

5

j sinh

d d

: (1+

: )

;sinh

d d

: (1

;

: )

k =(^;1)

5 sinh

d d

:

j 1 1+

:

;1 1^;

:

k =(^;1)

5 sinh

d d

:(1

;

: )^;(1+

: ) 1+2=(^;1)

5 sinh

d d

;2 2+1.

WW H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Dassind,abgesehenvonderanderenBezeichnungf¨urdenIndex,genau dieobenberechnetenKoeffizienten. Wirk¨onnendasIntegralauchganzohnekomplexeZahlenausrechnen: ZweimaligeAnwendungderRegelf¨urpartielleIntegrationliefert * 5=1 d

p 2

psinh

sin

=1 dcosh

sin

z~z{z{z

p 2

p

; d

p 2

pcosh

cos

=^; d

[ ]sinh

cos

z{z~z{z

p 2

p+

p 2

psinh

sin

_ a =^; d

x (^;1)

5 62sinh

d +

d

* 5

y =^; d(^;1)

5 62sinh

d;2

* 5. Somitist (1+2 )

* 5=^;2sinh

d d(^;1)

5 und

* 5=^;2sinh

d d(^;1)

5 2+1. DamithabenwirdieFOURIER-Reihevon

, aufdreiverschiedeneWeisen berechnet;dasErgebniswarnat¨urlichinallendreiF¨allendasselbe,der Wegdorthinaberrechtverschieden.Esh¨angtsowohlvomProblemals auchvonpers¨onlichenVorliebenab,welchenRechengangmanvorzieht; geradebeiFunktionen,beidenendieFOURIER-ReihesowohlSinus-als auchCosinustermeenth¨alt,wirdaberoftderWeg¨uberdiekomple- xeFOURIER-Reiheamschnellstensein,damandannnureinIntegral berechnenmuß.

e) K on v er genz der ber echneten Reihen

Alsn¨achsteswollen,zun¨achstf¨urS¨agezahnschwingungen,dieKonver- genzderFOURIER-Reiheuntersuchen.F¨ur

=0unddamitauchf¨uralle Vielfachenvon

sindalleSummandennull,dieReihekonvergiertalso gegennull. F¨ur

ausdemoffenenIntervall(0

)k¨onnenwirfolgendermaßen vorgehen:DieSummandensin

5

5sindStammfunktionenderFunktio-

Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen

W

X nencos

;alsoist 8 % 5 =1

sin

Stammfunktionvon

8 % 5 =1cos

. AuchdieFunktion

, l¨aßtsichimIntervall(0

)alsStammfunktion schreiben:Dortist , ( )=

4^;

2=

V 2

j ;1 2

k R , unddaauch

V 2

cos

R

R =sin

;sin

2 =sin

;sin

d =sin

ist,erhaltenwirdieDifferenzzwischender

 -tenTeilsummeund

, ( ) alsIntegral: 8 % 5 =1

sin

;

, ( )=

V 2

b8 % 5 =1cos

R;

j ;1 2

k

c R =

V 2

b 1 2+

8 % 5 =1cos

R

c R . DiesenIntegrandenk¨onnenwir¨uberdiekomplexeDarstellungdesCo- sinusausrechnen: 1 2+

8 % 5 =1cos

R =1 2+

8 % 5 =1

5

S +

2

5

S 2=1 2

8 % 5 =

2

8

5

S =1 2

2

8

S2

8 % 5 =0

5

S istimwesentlicheneinegeometrischeReihe,unddiel¨aßtsichbekannt- lichleichtausrechnen:Da (1

;

€ )

 % ‚ =0

€

‚ =

 % ‚ =0

€

‚ ;

+1% ‚ =1

€

‚ =1^;

€

+1