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Aufgabe 1: Komplexe Zahlen und Polynome 3 + 4 + 1 Punkte a) Bestimmen Sie alle komplexe Zahlen z, die die folgenden Gleichungen erfüllen:

z .z = z + z = i . (z - z)

b) Berechnen Sie alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms p(z) = z4 - z3 + 3z - 3. Finden Sie die erste Nullstelle durch Probieren.

Geben Sie die komplexen Nullstellen in Polar-und kartesischen Koordinaten an.

c) Zerlegen Sie das reelle Polynom p(x) aus b) in ein Produkt von rellen Polynomen vom Grad 1 oder 2.

a)

..

L.5~~J A:

(j,J'""J Z ~ -

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~ ~ A I ~ ~ Ä I ). tz

1,)

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Aufgabe

Grenzwerte und V-Notation 1 + 1 + 2 + 4 Punkte a) Geben Sie die Definition für die Divergenz einer Folge (an)nENgegen den uneigentlichen Grenzwert 00 an.

b) Wie ist die Relation f(n) E o(g(n)) für zwei Funktionen f,9 : N -t IR+ definiert?

c) Zu welcher Bedingung ist f(n) E o(g(n)) äquivalent, zu limn-+oo

=

limn-+oo

= oo? Beweisen Sie die Äquivalenz an Hand der Definitionen!

d) Finden Sie aus der folgenden Familie F ein Paar (Ji, /j) mit gleichem Wachstum, d.h. Ji(n) E 8(/j(n)) und i i=j, sowie ein Paar (A, fL), so dass fk(n) E o(Jl(n)).

Begründen Sie Ihre Wahl!

c)

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Aufgabe

ExtremsteIlen 3 + 4 Punkte

Gegeben sei eine Strecke s der Länge 1 in der Ebene, die im Koordinatenursprung beginnt und zur positiven x-Achse den Winkel a hat (0< a < ~).

a) Berechnen Sie mit einem bestimmten Integral das Volumen Va:des Kegels, der durch Rotation dieser Strecke um die x-Achse entsteht.

Hinweis 1: Dazu muss man diese Strecke als Funktion !a:(x) im Bereich 0 ::; x ::; ? beschreiben.

Hinweis 2: Zur Probe und zur Bearbeitung von Teil b) ohne Lösung von a) sehen Sie

hier das Zwischenergebnis: Va: =

~ sin2 a . cos a.

b) Bestimmen Sie den Winkel a, für dem das Volumen des Kegels maximal wird. Sie können diesen Winkel mit Hilfe der arcsin- oder arccos-Funktion ausdrücken.

A~k ,).. ::. 0

1 #".: JA. .. lI1.

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Aufgabe 4: Grenzwerte und Integration 2, 5 + 2 + 2, 5 Punkte

a) Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:

x2 - x . sin 4x

!im

n-oo

1 - cos2 X

b) und c) Berechnen Sie die folgenden Integrale mit partieller Integration bzw. mit einer geeigneten Substitution.

b) J ^{x2 . sinhx dx c)} J ^{sinx. e2cosx dx}

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