(a) Bestimmen Sie die Gruppentafel von (Z/5

U¨bungen zuMfI: AlgebraischeStrukturen TU Kaiserslautern

Jun.-Prof. Dr. CarolineLassueur Dipl.-Math. RuwenHollenbach

Abgabetermin:07.12.2018, 13 Uhr WS 2018/19

— Blatt 6 —

Aufgabe1. (a) Betrachten Sie die folgenden Permutationen σ1= 1 2 3 4 5 6

3 5 4 1 6 2

!

∈S₆, σ2= 1 2 3 4 5 6 2 1 4 3 6 5

!

◦ 1 2 3 4 5 6 3 1 2 4 5 6

!

∈S₆, σ3=(1,2,3,4,5,6,7,8,9)(4,3,2,1,5,6,7,10)∈S₁₀,

σ4=(7,9,6,4)(9,4,2,5,1,8)(4,6,8,1,3)∈S9.

Bestimmen Sie f ¨ur die Permutationenσ1, ..., σ4jeweils

(i) die Darstellung als Komposition von disjunkten Zykeln, (ii) die Darstellung als Komposition von Transpositionen und (iii) das Signum.

(b) Bestimmen Sie alle Elemente der alternierenden GruppeA₄.

Aufgabe2. (a) Bestimmen Sie die Gruppentafel von (Z/5,+) (mit Begr ¨undung).

(b) Bestimmen Sie f ¨ur jeden Teileravon 12 die zugeh ¨orige Untergruppe vonZ/12, wie in Beispiel 3.1.31 aus der Vorlesung.

Aufgabe3. (a) Sei (G,◦) eine Gruppe. Gegeben sei die Abbildung ϕ:G→S(G), g7→ϕ(g) := G → G

h 7→ g◦h

! .

Zeigen Sie, dassϕein Gruppen-Homomorphismus ist.

(b) Seien (G₁,◦₁) und (G₂,◦₂) zwei Gruppen. Wir definieren eine Verkn ¨upfung ◦ auf G₁×G₂durch

(g₁,g₂)◦(h₁,h₂) :=(g₁◦₁h₁,g₂◦₂h₂).

Zeigen Sie, dass (G₁×G₂,◦) eine Gruppe ist. Man nennt (G₁×G₂,◦) dasdirekte Produkt vonG₁undG₂.

Aufgabe4 (Chinesischer Restsatz).

Seienm,n∈Zteilerfremd. Gegeben sei die Abbildung

ϕ:Z/nm→Z/m×Z/n, a+mnZ7→(a+mZ,a+nZ).

Zeigen Sie, dassϕ

1. wohldefiniert ist, d.h. ϕ(a₁+mnZ)=ϕ(a₂+mnZ), fallsa₁≡a₂modmn, 2. ein Gruppen-Homomorphismus ist und

3. bijektiv ist (Hinweis: Nutzen Sie Satz 2.4.1 aus der Vorlesung).

Die Bearbeitung der folgenden Aufgabe ist optional. Durch die Bearbeitung k ¨onnen Sie Bonuspunkte erhalten.

Aufgabe5 (Bonus).

Geben Sie die Verallgemeinerung von Satz 3.1.32 aus der Vorlesung f ¨ur paarweise teiler- fremdem₁, ...,mr∈Z(r≥2) an und beweisen Sie diese per Induktion.