Bestimmen Sie die Gruppentafel einer Gruppe mit sieben Elementena

Prof.Dr. W.Koepf

Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung

Ubungsblatt 01 Grundlagen der Algebra & Computeralgebra 22.10.2008 Aufgabe 1: (Gruppen)

Sei (G; ) eine Halbgruppe, also : G G 7! G eine innere Verknupfung auf G mit der Eigenschaft a (b c) = (a b) c fur alle a; b; c 2 G: (Assoziativitat)

1. Zeigen Sie, dass G genau dann eine Gruppe ist, wenn die Gleichungen a x = b und y a = b fur alle a; b 2 G eindeutig losbar sind.

2. Bestimmen Sie die Gruppentafel einer Gruppe mit sieben Elementen^a. An welchen Merkmalen der Gruppentafel konnen Sie erkennen, dass es sich um eine Gruppe handelt? Wie kann man anhand der Gruppentafel feststellen, ob die Gruppe abelsch ist?

3. Wie sieht die Gruppentafel einer zyklischen Gruppe hgi = fg⁰; g¹; g²; g³; : : : ; g^{n 1}g mit n Elementen aus^b?

(8 Punkte)

Aufgabe 2: (DM-Banknotennummerierung)

Zu DM-Zeiten nummerierte man die deutschen Banknoten mit folgendem Verfahren durch.

Sei die Diedergruppe D₅ gegeben, welche die Symmetrien des regelmaigen Funfecks beschreibt.

Wir bezeichnen die innere Verknupfung der Diedergruppe D5mit ?. Wir benotigen hier nichts weiter als die nicht-kommutative Verknupfungstafel, welche gegeben ist durch

(D₅; ?) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 0 6 7 8 9 5 2 2 3 4 0 1 7 8 9 5 6 3 3 4 0 1 2 8 9 5 6 7 4 4 0 1 2 3 9 5 6 7 8 5 5 9 8 7 6 0 4 3 2 1 6 6 5 9 8 7 1 0 4 3 2 7 7 6 5 9 8 2 1 0 4 3 8 8 7 6 5 9 3 2 1 0 4 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

:

Die Nummer a₁a₂: : : a₁₁einer deutschen DM-Banknote bestand aus 11 Zeichen. Die ersten beiden und das zehnte Zeichen waren hierbei Buchstaben, welche nach der Ersetzung

A D G K L N S U Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

wie die restlichen Zeichen ebenfalls durch Ziern dargestellt werden konnten.

Die elfte und letzte Zier a₁₁ war eine Prufzier. Um sie zu berechnen, benotigen wir als letzte Zutat der Geldscheinnummerierung die Permutation

T =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 7 6 2 8 3 0 9 4

: Die Beziehung

T (a1) ? T²(a2) ? ? T¹⁰(a10) ? a11= 0 deniert die Prufzier a₁₁ eindeutig, weil D₅ eine Gruppe ist.

agern auch mit einem CAS

bvorausgesetzt, die Elemente werden in der Kopfzeile und in der Leitspalte in obiger Reihenfolge angeordnet!

Laden Sie die Datei banknoten.nb von der Ubungshomepage auf http://www.mathematik.uni- kassel.de/sprengerherunter. Diese enthalt die Funktionen Star, welche die von der Diedergruppe D5 induzierte innere Verknupfung ? auf f0; 1; ; : : : ; 9g erklart, die Permutation

T =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 7 6 2 8 3 0 9 4

sowie die Testfunktion CheckDMBanknote, welche den Test auf die Testbanknotennummer string anwendet.

1. Wie lautet die Formel fur a₁₁?

2. Berechnen Sie die Potenzen T^k (k = 0; 1; 2; : : : ; 9). Hierzu benotigen Sie die Funktion Nest.

3. Beweisen Sie, dass x ? T (y) 6= y ? T (x) fur alle x; y 2 f0; 1; ; : : : ; 9g mit x 6= y gilt. Gilt auch x T (y) 6= y T (x)?

Verwenden Sie zum Testen jeweils eine Doppelschleife mit Do oder besser mit Table.

4. Erklaren Sie die Wirkungsweise von CheckDMBanknote[string].

5. Testen Sie die aufeinanderfolgenden Banknoten "KL3613601A3", "KL3613602A1",

"KL3613603A2" und "KL3613604A9" sowie 3 zufallige Banknoten auf Echtheit.

(8 Punkte)

Abgabetermin: bis spatestens Mittwoch, 29.10.2008, 10.15 Uhr in der Ubung.