Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis L¨osungen von Blatt XIII vom 18. Januar 2013
Aufgabe XIII.1(4 Punkte)
Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale jeweils durch AngabeeinerStammfunktion:
a) Z
2e−x/3dx b)
Z 1 x−1+ 2
x2 +√ π dx
Aufgabe XIII.2(6 Punkte)
Berechnen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration und/oder Substitution:
a)
π
Z2
0
x2cos(x)dx
(Hinweis: Die partielle Integration ist wiederholt anzuwenden.)
b)
π
Z4
0
sin(x)·ecos(x)dx
c)
1
Z
0
x3
√1 +x2dx
(Hinweis: Verwenden Sie zun¨achst f¨ur die Substitutionf(x) =x2undg(u) = √1+uu und integrieren Sie anschließend partiell.)
Aufgabe XIII.3(5 Punkte) Berechnen Sie:
a)
2
Z
1
√x
Z
1/x
2x2y+ 1dy
dx b)
1
Z
0
x
2
Z
0
xeydy
dx
Aufgabe XIII.4(5 Punkte)
Seiena, b, c >0. Wir betrachten den Tetraeder, der durch die Ebenengleichung x
a +y b +z
c = 1 (x, y, z≥0) gegeben ist. Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders.
L¨osungsvorschl¨age Aufgabe XIII.1
a) Z
2e−x/3dx=−6e−x/3.
b) Wir nutzen die Linearit¨at des Integrals aus und erhalten Z 1
x−1+ 2 x2+√
π dx= Z 1
x−1dx+2 Z
x−2dx+
Z √
π dx= ln|x−1|−2x−1+√ πx.
Ubungsblatt XIII¨ Seite 2
Aufgabe XIII.2
a) Durch zweimaliges partielles Integrieren erh¨alt man
π
Z2
0
x2cos(x)dx=x2sin(x)
π 2
0
−
π
Z2
0
2xsin(x)dx
= (π2)2−2
−xcos(x)
π 2
0
| {z }
=0
+
π 2
Z
0
cos(x)dx
= (π2)2−2·sin(x)
π 2
0
= (π2)2−2.
b) Wir verwenden die Substitutionsformel mit f(x) = cos(x) und g(x) = ex und erhalten
π 4
Z
0
sin(x)·ecos(x)dx=−
π 4
Z
0
(−sin(x))·ecos(x)dx
=−
√1 2
Z
1
eudu= Z1
√1 2
eudu
=eu
1
√1 2
=e−e1/
√2.
c) Substituiere u=f(x) =x2 und setzeg(u) = √1+uu an. Dann gilt
1
Z
0
x3
√
1 +x2dx= 1 2
1
Z
0
2x·x2
√
1 +x2 dx= 1 2
1
Z
0
√ u
1 +udu.
Mit partieller Integration folgt weiterhin (beachte (√
x)0= 2√1x) 1
2
1
Z
0
√ u
1 +udu=√
1 +u·u
1
0
−
1
Z
0
√1 +u du
=√ 2−2
3(1 +u)3/2
1
0
=√ 2−2
3(23/2−1)≈0,1953.
Ubungsblatt XIII¨ Seite 3
Aufgabe XIII.3
a) Wir berechnen den angegebenen Ausdruck, indem wir die Integrale von innen nach außen berechnen:
2
Z
1
√x
Z
1/x
2x2y+ 1dy
dx=
2
Z
1
x2y2+y
y=√ x y=1/x
dx
=
2
Z
1
x3+√
x−1−x1dx= 14x4+23x3/2−x−ln(x)
2
1
= 2512+2323/2−ln(2)≈3,2758.
b) Zun¨achst ist
1
Z
0
x
2
Z
0
xeydy
dx=
1
Z
0
xey
y=x2 y=0
dx=
1
Z
0
xex2 −x dx.
Wir substituieren nun u =f(x) =x2 und setzeng(x) = ex. Dann gilt gem¨aß der Substitutionsformel
1
Z
0
xex2dx= 12
1
Z
0
g(f(x))f0(x)dx= 12
1
Z
0
eudu
= 12eu
1
0
= 12(e−1).
Insgesamt ist also
1
Z
0
xex2−x dx=
1
Z
0
xex2dx−
1
Z
0
x dx= 12(e−1)−12 = 12(e−2).
Aufgabe XIII.4
Wir l¨osen die Ebenengleichung des Tetraeders zun¨achst nachz auf:
z=c
1−x a− y
b
=f(x, y).
Sei x ∈ [0, a] beliebig. Damit der Punkt (x, y, z) = (x, y, f(x, y)) die Ebenengleichung erf¨ullt, muss f¨ur diey-Komponente gelten:
0≤ y
b ≤1−x
a ⇔0≤y≤b− bx a =b
1−x a
.
Ubungsblatt XIII¨ Seite 4
Daher ergibt sich das gesuchte Volumen wie folgt:
V =
a
Z
0
b(1−x a)
Z
0
c(1−xa −yb)dy
dx=c
a
Z
0
y−yxa −12yb2
b(1−x a) 0
dx
=c
a
Z
0
b(1− xa)−b(1−xa)xa−12b(1− xa)2dx
=bc
a
Z
0 1 2
x2
a2 −xa +12dx=bc
1 6
x3
a2 −12xa2 +12x
a 0
= abc 6 .
