Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale: (a) Z 1 0 lnx dx, (b) Z 1 −1 √ dx 1−x2, (c) Z ∞ 0 dx x2+ 2x+ 2, (d) Z

Mathematisches Institut WS 2016/2017

der Heinrich-Heine Universit¨at 28.10.2016

D¨usseldorf Blatt 2

PD. Dr. Axel Gr¨unrock

UBUNGEN ZUR ANALYSIS II¨

5. Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale:

(a) Z 1

0

lnx dx, (b)

Z 1

−1

√ dx

1−x², (c)

Z ∞

0

dx

x²+ 2x+ 2, (d)

Z ∞

−∞

1

x⁴+ 2x²+ 1dx.

Machen Sie dabei in geeigneter Weise kenntlich, welches die problematischen Integral- grenzen sind! Hinweis zu Teil (d): Partialbruchzerlegung.

6. Untersuchen Sie, ob die nachstehenden uneigentlichen Integrale existieren:

(a) Z ∞

−∞

sinx dx, (b)

Z ∞

0

sinx

√x dx,

(c) Z ∞

0

sin (x²) dx, (d)

Z ∞

0

sin² 1

x

dx.

Hinweis: In Teil (d) f¨uhrt die Substitution t= ¹_x zum Ziel.

7. Die Eulersche Beta-Funktion wird definiert durch das (ggf. uneigentliche) Integral B(x, y) :=

Z 1

0

t^x−1(1−t)^y−1dt.

Zeigen Sie:

(a) B(x, y) konvergiert f¨ur alle positiven reellen Zahlen xund y.

(b) B(x, y) divergiert, falls x≤0 oder y≤0.

Bitte wenden!

1

8. Zeigen Sie f¨ur die in Aufgabe 7 definierte Beta-Funktion:

(a) B(x, y) =B(y, x),

(b) F¨ur alle n∈N istB(x, n) = (n−1)!

n−1

Y

k=0

(x+k) .

Abgabe: Fr., 04.11.2016, bis 10.25 Uhr

Besprechung: Mi., 09.11.2016 und Do., 10.11.2016