ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 1. Aufgabenblatt zur Abgabe vom 14.6.2013
Abgabe: Montag, 17. Juni vor der Vorlesung
Hinweis: Stellen Sie sicher, dass auf jedem abgegebenen Blatt Ihr Name und Ihre Übungs- gruppe vermerkt ist. Heften Sie Ihre abgegebenen Blätter zusammen damit nichts verloren geht.
1. Aufgabe: Aussagenlogik (4+2+4 Punkte)
(a) Vereinfachen Sie die Formel t Schritt für Schritt unter Verwendung der aus der Vorlesung bekannten semantischen Äquivalenzen so weit wie möglich. Benennen Sie dabei für jeden Schritt explizit die verwendete semantische Äquivalenz.
t= (¬q∧r)∨ ¬(q∧p)∨ ¬q
(b) Überprüfen Sie Ihre in Teil (a) gefundene Lösung mit einer Wertetabelle daraufhin, ob sie tatsächlich semantisch äquivalent zur gegebenen Formeltist.
(c) Konstruieren Sie mit Hilfe der Wertetabelle aus Teil (b) die kanonische DNF und die kanonische KNF für die Interpretationft des Terms t.
2. Aufgabe: Quantoren (3+2+3 Punkte) Wir betrachten die folgenden Prädikate:
P(x, y, z) :x+y =z Q(x, y, z) :x·y=z
Bestimmen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen und begründen Sie Ihre Ant- wort wie im folgenden Beispiel: ∀x ∈ Z: ∀z ∈Z:∃y ∈Z:P(x, y, z) ist wahr. Begrün- dung: Seien x = a und z =b beliebige ganze Zahlen, dann wählen wir y = b−a∈ Z und erhalten mit P(a, b−a, b)wegen a+ (b−a) =beine wahre Aussage.
(a) ∃z∈Z:∃x∈Z:∀y∈Z:¬P(x,2y, z) (b) ∀x∈Q:∀z∈Q:∃y∈Q:Q(x, y, z)
(c) ∀x∈Q:∃y∈Q:∃z∈Q: (x6= 1⇒P(x, y, z)∧Q(x, y, z)) 3. Aufgabe: Mengenoperationen (3+3+3 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen stimmen für alle MengenA,B,C undD? Beweisen Sie die Aussagen oder nden Sie Mengen, die ein Gegenbeispiel liefern.
(a) A∩(B\C) = (A∩B)\(A∩C)
(b) (A×B)∪(C×D) = (A∪C)×(B∪D) (c) (A⊕B)⊕B =A
4. Aufgabe: Zirkuläre Relationen (3 Punkte)
Sei A eine Menge und R eine Relation in A. R wird zirkulär genannt, wenn für alle a, b, c ∈A gilt: (a, b) ∈ R∧(b, c) ∈R ⇒(c, a) ∈R. Beweisen Sie, dass R genau dann eine Äquivalenzrelation ist, wennR reexiv und zirkulär ist.
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5. Aufgabe: Abbildungen (2+2+2+2 Punkte)
(a) Seif :A→B eine Abbildung und sei X⊆A eine beliebige Teilmenge. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
i) f(X)⊆f(A),
ii) f(A)\f(X) =f(A\X).
Ändert sich etwas an dem Wahrheitsgehalt der obigen Aussagen, wenn die Funktion f als injektiv oder als surjektiv vorausgesetzt wird? Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Seif :A →B eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass für beliebige Teilmengen S, T ⊆A giltf(S∩T) =f(S)∩f(T). Zeigen Sie, dassf injektiv ist.
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