Zeigen Sie, dass ausX∼Y und Y ∼Z folgt: X∼Z

PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de

Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 8¨

Abgabe bis Fr, 10.6., 8:15 Uhr

Aufgabe 1. (a) Seien X, Y, Z topologische R¨aume. Zeigen Sie, dass ausX∼Y und Y ∼Z folgt: X∼Z.

(b) Ein RaumXheißtzusammenziehbar, falls er homotop zu einem Ein-Punkt-Raum ist. Zeigen Sie, dass jeder zusammenziehbare Raum wegzusammenh¨angend ist.

Aufgabe 2. (a) Zeigen Sie, dass die Abbildung

f:S¹→S¹, (x, y)7→(x,−y),

nicht homotop zur Identit¨at ist. (Hinweis: H¨alt die Homotopie den Punkt (1,0)∈ S¹ fest, so hilt Satz 14.6. Ansonsten hilft Aufgabe 4(b) von Blatt 7 weiter.) (b) Zeigen Sie, dass die Abbildungen

g:S¹ →S², (x, y)7→(x, y,0) und h:S¹ →S², (x, y)7→(x,−y,0) homotop relativ zu (1,0)∈S¹ sind.

Aufgabe 3. SeiG eine Gruppe mit einer Topologie, bez¨uglich derer die Abbildungen (x, y) 7→ xy und x 7→ x⁻¹ stetig sind. Bezeichne e ∈ G das neutrale Element und Ω(G, e) alle Wege in Gvon enach e. Zeigen Sie:

(a) F¨ur allev, w∈Ω(G, e) giltv∗w∼w∗v. Insbesondere istπ1(G, e) kommutativ.

(Hinweis: Betrachten Sie t7→v(t)w(t).)

(b) F¨ur jeden Wegv∈Ω(G, e) giltv∼v⁻¹, wobeiv⁻¹ den Wegt7→v(t)⁻¹bezeichne.

Aufgabe 4. (a) Seien f, g: X → Y stetige Abbildungen topologischer R¨aume, H eine Homotopie von f nach g und x ∈ X sowie w = H(x,−). Zeigen Sie mit Aufgabe 4(b) von Blatt 7, dass dann folgendes Diagramm kommutiert, wobei c_[w]([v]) := [w]∗[v]∗[w]⁻¹:

π1(Y, f(x))

c_[w]

π₁(X, x)

f∗ 44

g∗ **

π₁(Y, g(x))

(b) Folgern Sie: SindXundY homotop und wegzusammenh¨angend, so giltπ1(X, x)∼= π1(Y, y) f¨ur jedes x∈X und y∈Y.

Zusatzaufgabe 5. (Der Fundamentalsatz der Algebra mit Hilfe der Windungszahl) Wir betrachten ein Polynom p(x) = xⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a₁x+a₀ mit komplexen Koeffizientena₀, . . . , an−1 ∈C. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass|a₀|+· · ·+|a_n|<

1. Ferner nehmen wir an, dassp keine Nullstelle hat.

(a) Zeigen Sie, dass die Wege u: t 7→ p(e^2πit) und wn: t 7→ e^2πint in R² \ {0} frei homotop sind. (Hinweis: Betrachten Sie Konvexkombinationen.)

(b) Zeigen Sie, dassu homotop zu einem konstanten Weg ist.

(c) Schließen Sie auf einen Widerspruch.

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