BjörnDeiserothSeminar:ReelleKomplexität04.07.2011TUDarmstadtPDDr.habil.UlrikeBrandt,Prof.Dr.ZieglerM.Sc.Rösnick (inBsp.überRinge { 0 , 1 } , Z , R ) R DieKomplexitätsklasseNP

0,1/Z/R

Die Komplexitätsklasse NP _R (in Bsp. über Ringe { 0 , 1 } , Z, R )

Björn Deiseroth Seminar: Reelle Komplexität

04.07.2011 TU Darmstadt

PD Dr. habil. Ulrike Brandt, Prof. Dr. Ziegler

M.Sc. Rösnick

0,1/Z/R

Gliederung

1 Motivation für Komplexitätsklassen

2 Die Klasse NP _R

Rückblick & Vorbereitung Definition der Klasse Härte & Vollständigkeit

3 SA/QA-FEAS ist NP _R -vollständig Sichtung & Vorbereitung Zugehörigkeit,

Härte ⇒ Vollständigkeit

4 Weitere Probleme und Resultate in NP { 0 , 1 } /Z/R

0,1/Z/R

[Motivation für Komplexitätsklassen]

0,1/Z/R

Probleme

Von Methodiken finden, zum Benutzen.

NP mehrfach benutzt/ gehört (in Z 2 )

- (oft) Lösung finden schwer, Verifikation jedoch einfach Allgemeineres Modell finden, weiter differenzieren

- abhängig von unterliegender Struktur

Funde: “universelle” Probleme - z.B. SA/QA-FEAS, SAT

Reduktion von P = NP auf solche Probleme

0,1/Z/R

Probleme

Von Methodiken finden, zum Benutzen.

NP mehrfach benutzt/ gehört (in Z 2 )

- (oft) Lösung finden schwer, Verifikation jedoch einfach Allgemeineres Modell finden, weiter differenzieren

- abhängig von unterliegender Struktur

Funde: “universelle” Probleme - z.B. SA/QA-FEAS, SAT

Reduktion von P = NP auf solche Probleme

0,1/Z/R

Probleme

Von Methodiken finden, zum Benutzen.

NP mehrfach benutzt/ gehört (in Z 2 )

- (oft) Lösung finden schwer, Verifikation jedoch einfach Allgemeineres Modell finden, weiter differenzieren

- abhängig von unterliegender Struktur

Funde: “universelle” Probleme - z.B. SA/QA-FEAS, SAT

Reduktion von P = NP auf solche Probleme

0,1/Z/R

[Die Klasse NP _R ]

0,1/Z/R

Maschine

Maschine über R:

endlicher, verbundener, gerichteter Graph

mit 5 Knotentypen: input, computation, branch, output, shift (deren Abbildungen)

R ^∞ = F ^∞

n ≥ 0 R ⁿ , x ∈ R ∞ : x = ( ..., x − 2 , x − 1 , x ₀ . x ₁ , x ₂ ,... ) , x _i ∈ R , | k | > L ⇒ x _k = 0

I _M , O _M ⊆ R ^∞ , S _M ⊆ R ∞

Ω _T = { x ∈ I _M | T _M (x ) ≤ T }

0,1/Z/R

Maschine

Maschine über R:

endlicher, verbundener, gerichteter Graph

mit 5 Knotentypen: input, computation, branch, output, shift (deren Abbildungen)

R ^∞ = F ^∞

n ≥ 0 R ⁿ , x ∈ R ∞ : x = ( ..., x − 2 , x − 1 , x ₀ . x ₁ , x ₂ ,... ) , x _i ∈ R , | k | > L ⇒ x _k = 0

I _M , O _M ⊆ R ^∞ , S _M ⊆ R ∞

Ω _T = { x ∈ I _M | T _M (x ) ≤ T }

0,1/Z/R

Instrumentarium I/II

für x ∈ R ⁿ

- ht _R (x _i ) (z.B. max( d log( | p _i | + 1) e ,... ) für R = Q , bit-cost) - length(x ) = n

- size(x ) = n · ht _R (x) = n · max ht _R (x _i ) - ht _max (x) analog ht _R , für Zustandsbahn - cost _M (x) = T _M (x ) × ht max (x)

- guess: Befehl für nicht-determ. Eingabe

idR benutzt: unit-cost ⇒ unit height: ht _R (x) = 1

0,1/Z/R

Instrumentarium I/II

für x ∈ R ⁿ

- ht _R (x _i ) (z.B. max( d log( | p _i | + 1) e ,... ) für R = Q , bit-cost) - length(x ) = n

- size(x ) = n · ht _R (x) = n · max ht _R (x _i ) - ht _max (x) analog ht _R , für Zustandsbahn - cost _M (x) = T _M (x ) × ht max (x)

- guess: Befehl für nicht-determ. Eingabe

idR benutzt: unit-cost ⇒ unit height: ht _R (x) = 1

0,1/Z/R

Instrumentarium I/II

für x ∈ R ⁿ

- ht _R (x _i ) (z.B. max( d log( | p _i | + 1) e ,... ) für R = Q , bit-cost) - length(x ) = n

- size(x ) = n · ht _R (x) = n · max ht _R (x _i ) - ht _max (x) analog ht _R , für Zustandsbahn - cost _M (x) = T _M (x ) × ht max (x)

- guess: Befehl für nicht-determ. Eingabe

idR benutzt: unit-cost ⇒ unit height: ht _R (x) = 1

0,1/Z/R

Instrumentarium II/II

S ←→ (X , X _yes ), S , X ⊆ R ^∞ , X _yes ⊆ X :

Entscheidungsproblem (un)strukturiert überführbar ϕ : X → Y p-reduzierbar: “ , → _p ”

strukturerhaltender Morphismus, polynomiell berechenbar g : R ∞ → R ∞ “Dimension m” definiert durch m Polynome:

(g(x)) _i = g _i (x ), i = 1 ... m; (g(x)) _i = x _i sonst

g _i (x) = g ⁰ _i (x ₁ ,..., x m ) für g ⁰ _i : R ^m → R Polynome

Branch/ Computation nodes sind Polynome in R ∞

0,1/Z/R

Instrumentarium II/II

S ←→ (X , X _yes ), S , X ⊆ R ^∞ , X _yes ⊆ X :

Entscheidungsproblem (un)strukturiert überführbar ϕ : X → Y p-reduzierbar: “ , → _p ”

strukturerhaltender Morphismus, polynomiell berechenbar g : R ∞ → R ∞ “Dimension m” definiert durch m Polynome:

(g(x)) _i = g _i (x ), i = 1 ... m; (g(x)) _i = x _i sonst

g _i (x) = g ⁰ _i (x ₁ ,..., x m ) für g ⁰ _i : R ^m → R Polynome

Branch/ Computation nodes sind Polynome in R ∞

0,1/Z/R

Instrumentarium II/II

S ←→ (X , X _yes ), S , X ⊆ R ^∞ , X _yes ⊆ X :

Entscheidungsproblem (un)strukturiert überführbar ϕ : X → Y p-reduzierbar: “ , → _p ”

strukturerhaltender Morphismus, polynomiell berechenbar g : R ∞ → R ∞ “Dimension m” definiert durch m Polynome:

(g(x)) _i = g _i (x ), i = 1 ... m; (g(x)) _i = x _i sonst

g _i (x) = g ⁰ _i (x ₁ ,..., x m ) für g ⁰ _i : R ^m → R Polynome

Branch/ Computation nodes sind Polynome in R ∞

0,1/Z/R

Instrumentarium II/II

S ←→ (X , X _yes ), S , X ⊆ R ^∞ , X _yes ⊆ X :

Entscheidungsproblem (un)strukturiert überführbar ϕ : X → Y p-reduzierbar: “ , → _p ”

strukturerhaltender Morphismus, polynomiell berechenbar g : R ∞ → R ∞ “Dimension m” definiert durch m Polynome:

(g(x)) _i = g _i (x ), i = 1 ... m; (g(x)) _i = x _i sonst

g _i (x) = g ⁰ _i (x ₁ ,..., x m ) für g ⁰ _i : R ^m → R Polynome

Branch/ Computation nodes sind Polynome in R ∞

0,1/Z/R

Formale Definition von NP _R

D1 S ⊆ R ^∞ Entscheidungsproblem.

S ∈ NP _R , falls ∃ M mit I _M = R ^∞ × R ^∞ , c , q ∈ N .

E1) x ∈ S ⇒ ∃ w ∈ R ^∞ . Φ _M (x ,w) = 1, cost M (x ,w) ≤ c · size(x ) ^q E2) x < S ⇒ @ w ∈ R ^∞ . Φ _M (x , w) = 1

⇒ Spezialfall: R = Z 2 “klassisch”

⇒ w reicht mit Bedingungen:

size(x , w) ≤ c · size(x) ^p + K _M , ht _R (w) ≤ c · size(x) ^q

⇒ E3) ∀ x ∈ X , w ∈ R ^∞ . cost _M (x , w) ≤ c · size(x ) ^q , Φ _M (x , w) ∈ { 0 , 1 }

0,1/Z/R

Formale Definition von NP _R

D1 S ⊆ R ^∞ Entscheidungsproblem.

S ∈ NP _R , falls ∃ M mit I _M = R ^∞ × R ^∞ , c , q ∈ N .

E1) x ∈ S ⇒ ∃ w ∈ R ^∞ . Φ _M (x ,w) = 1, cost M (x ,w) ≤ c · size(x ) ^q E2) x < S ⇒ @ w ∈ R ^∞ . Φ _M (x , w) = 1

⇒ Spezialfall: R = Z 2 “klassisch”

⇒ w reicht mit Bedingungen:

size(x , w) ≤ c · size(x) ^p + K _M , ht _R (w) ≤ c · size(x) ^q

⇒ E3) ∀ x ∈ X , w ∈ R ^∞ . cost _M (x , w) ≤ c · size(x ) ^q , Φ _M (x , w) ∈ { 0 , 1 }

0,1/Z/R

Formale Definition von NP _R

D1 S ⊆ R ^∞ Entscheidungsproblem.

S ∈ NP _R , falls ∃ M mit I _M = R ^∞ × R ^∞ , c , q ∈ N .

E1) x ∈ S ⇒ ∃ w ∈ R ^∞ . Φ _M (x ,w) = 1, cost M (x ,w) ≤ c · size(x ) ^q E2) x < S ⇒ @ w ∈ R ^∞ . Φ _M (x , w) = 1

⇒ Spezialfall: R = Z 2 “klassisch”

⇒ w reicht mit Bedingungen:

size(x , w) ≤ c · size(x) ^p + K _M , ht _R (w) ≤ c · size(x) ^q

⇒ E3) ∀ x ∈ X , w ∈ R ^∞ . cost _M (x , w) ≤ c · size(x ) ^q , Φ _M (x , w) ∈ { 0 , 1 }

0,1/Z/R

Reduktion von Entscheidungsproblemen

S1 S , → _p S ⁰ , S ⁰ ∈ NP _R ⇒ S ∈ NP _R B ϕ Reduktion in polynomieller Zeit,

M ⁰ eine NP _R Entscheidungsmaschine für S ⁰ Maschine M:

input x

2: compute y := ϕ (x ) guess w ∈ R ^∞

4: compute z := Φ _M

(y , w)

output z

0,1/Z/R

Reduktion von Entscheidungsproblemen

S1 S , → _p S ⁰ , S ⁰ ∈ NP _R ⇒ S ∈ NP _R B ϕ Reduktion in polynomieller Zeit,

M ⁰ eine NP _R Entscheidungsmaschine für S ⁰ Maschine M:

input x

2: compute y := ϕ (x ) guess w ∈ R ^∞

4: compute z := Φ _M

(y , w)

output z

0,1/Z/R

Algebraische Definition

D2 berechenbare Abbildung ϕ : R ^∞ → R ^∞ heisst ehrlich auf V ⊂ R ^∞ , falls gilt: ∃ c , q ∈ N. ∀ v ∈ V . size(v ) ≤ c · size( ϕ (v)) ^q S2 S ∈ NP _R ⇔ S = ϕ (V),

für ein V ∈ P _R , ϕ auf V ehrlicher p-Morphismus

0,1/Z/R

Algebraische Definition

D2 berechenbare Abbildung ϕ : R ^∞ → R ^∞ heisst ehrlich auf V ⊂ R ^∞ , falls gilt: ∃ c , q ∈ N. ∀ v ∈ V . size(v ) ≤ c · size( ϕ (v)) ^q S2 S ∈ NP _R ⇔ S = ϕ (V),

für ein V ∈ P _R , ϕ auf V ehrlicher p-Morphismus

0,1/Z/R

Beweis Algebraische Definition 1/4

“S ∈ NP _R ⇒ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P _R ”:

S ∈ NP _R mit M , p _M Kostenschranke, X = R ^∞ × R ^∞ , V = { (x , w) ∈ X | x ∈ S , size(x , w) ≤ p _M (size(x)) + K _M ,

Φ _M (x , w) = 1 } ϕ (x , w) = x für (x , w) ∈ X

ϕ (V) = S ist ehrlicher p-Morphismus

0,1/Z/R

Beweis Algebraische Definition 1/4

“S ∈ NP _R ⇒ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P _R ”:

S ∈ NP _R mit M , p _M Kostenschranke, X = R ^∞ × R ^∞ , V = { (x , w) ∈ X | x ∈ S , size(x , w) ≤ p _M (size(x)) + K _M ,

Φ _M (x , w) = 1 } ϕ (x , w) = x für (x , w) ∈ X

ϕ (V) = S ist ehrlicher p-Morphismus

0,1/Z/R

Beweis Algebraische Definition 1/4

“S ∈ NP _R ⇒ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P _R ”:

S ∈ NP _R mit M , p _M Kostenschranke, X = R ^∞ × R ^∞ , V = { (x , w) ∈ X | x ∈ S , size(x , w) ≤ p _M (size(x)) + K _M ,

Φ _M (x , w) = 1 } ϕ (x , w) = x für (x , w) ∈ X

ϕ (V) = S ist ehrlicher p-Morphismus

0,1/Z/R

Beweis Algebraische Definition 2/4

“S ∈ NP _R ⇒ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P _R ”:

Maschine M ^∗ : input (x , w) ∈ X

2: if size(x , w) > p _M (size(x )) + K _M output 0 else output Φ M (x , w )

X M ^∗ ist plynomiell auf X X Φ _M

(V ) = { 1 }

Φ _M

(X \ V) = { 0 }

⇒ V ∈ P _R

0,1/Z/R

Beweis Algebraische Definition 2/4

“S ∈ NP _R ⇒ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P _R ”:

Maschine M ^∗ : input (x , w) ∈ X

2: if size(x , w) > p _M (size(x )) + K _M output 0 else output Φ M (x , w )

X M ^∗ ist plynomiell auf X X Φ _M

(V ) = { 1 }

Φ _M

(X \ V) = { 0 }

0,1/Z/R

Beweis Algebraische Definition 2/4

“S ∈ NP _R ⇒ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P _R ”:

Maschine M ^∗ : input (x , w) ∈ X

2: if size(x , w) > p _M (size(x )) + K _M output 0 else output Φ M (x , w )

X M ^∗ ist plynomiell auf X X Φ _M

(V ) = { 1 }

Φ _M

(X \ V) = { 0 }

⇒ V ∈ P _R

0,1/Z/R

Beweis Algebraische Definition 3/4

“S ∈ NP _R ⇐ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P _R ”:

V ∈ P _R , M entscheidet V mit Kostenschranke: p _M ,

ϕ ehrlicher p-Morphismus auf V , S = ϕ (V),

p _ϕ , p _V polynomielle Schranke für Kosten und size

0,1/Z/R

Beweis Algebraische Definition 4/4

“S ∈ NP R ⇐ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P R ”:

Maschine M ^∗ : input x ∈ R ^∞

2: guess v ∈ R ^∞

if size(v) > p _V (size(x )) output 0

4: else if Φ _M (v) = 0 then output 0 else if ϕ(v ) = x then output 1

6: else output 0

X M ^∗ ist polynomiell in size(x )

X x ∈ S ⇔ ∃ v ∈ V . ϕ (v ) = x ⇔

0,1/Z/R

Beweis Algebraische Definition 4/4

“S ∈ NP R ⇐ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P R ”:

Maschine M ^∗ : input x ∈ R ^∞

2: guess v ∈ R ^∞

if size(v) > p _V (size(x )) output 0

4: else if Φ _M (v) = 0 then output 0 else if ϕ(v ) = x then output 1

6: else output 0

X M ^∗ ist polynomiell in size(x )

X x ∈ S ⇔ ∃ v ∈ V . ϕ (v ) = x ⇔

0,1/Z/R

Beweis Algebraische Definition 4/4

“S ∈ NP R ⇐ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P R ”:

Maschine M ^∗ : input x ∈ R ^∞

2: guess v ∈ R ^∞

if size(v) > p _V (size(x )) output 0

4: else if Φ _M (v) = 0 then output 0 else if ϕ(v ) = x then output 1

6: else output 0

X M ^∗ ist polynomiell in size(x )

X x ∈ S ⇔ ∃ v ∈ V . ϕ (v ) = x ⇔

0,1/Z/R

Folgerung algebraischer Definition

gezeigt:

S ∈ NP _R ⇔ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P _R es folgt:

P _R ⊆ NP _R

0,1/Z/R

Folgerung algebraischer Definition

gezeigt:

S ∈ NP _R ⇔ ∃ ϕ. S = ϕ (V) , ϕ ehrl. , V ∈ P _R es folgt:

P _R ⊆ NP _R

0,1/Z/R

Folgerung algebraischer Definition

K1 Für beliebigen Ring R gilt: P _R ⊆ NP _R B ϕ = id in Satz 2

! NP ⊆ EXP nur für Z 2 klar

0,1/Z/R

Folgerung algebraischer Definition

K1 Für beliebigen Ring R gilt: P _R ⊆ NP _R B ϕ = id in Satz 2

! NP ⊆ EXP nur für Z 2 klar

0,1/Z/R

Härte

D3 b S heisst NP _R -hart, falls: ∀ S ∈ NP _R . S , → _p b S

S7 b S NP _R -hart, b S , → _p S ⇒ S NP _R -hart

0,1/Z/R

Härte

D3 b S heisst NP _R -hart, falls: ∀ S ∈ NP _R . S , → _p b S

S7 b S NP _R -hart, b S , → _p S ⇒ S NP _R -hart

0,1/Z/R

Vollständigkeit

D4 b S heisst NP _R -vollständig, falls: S b NP _R -hart, b S ∈ NP _R

S6 Sei b S NP _R -vollständig. b S ∈ P _R ⇔ P _R = NP _R

0,1/Z/R

Vollständigkeit

D4 b S heisst NP _R -vollständig, falls: S b NP _R -hart, b S ∈ NP _R

S6 Sei b S NP _R -vollständig. b S ∈ P _R ⇔ P _R = NP _R

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[SA/QA-FEAS ist NP _R -vollständig]

0,1/Z/R

Begriffsdefinition SA/QA-FEAS

“Erfüllbarkeit von semi/quasi-algebraischen Systemen”

(X , X _yes ) mit

X = { Φ = ( ϕ 1 ,...ϕ m ) | ϕ j = (f _j1 ,... f _jl , g _j1 ,..., g _jr ) , f _ji , g _jk ∈ R[x ₁ ,..., x _n ] } , ϕ ⁰ _j (x) = W l

n=1 f _jn (x) > 0 ∨ W r

n=1 g _jn (x ) = 0 ,

ϕ ⁰ = V m

j=1 ϕ ⁰ _j ,

X yes = { Φ ∈ X | S _ϕ

, ∅}

0,1/Z/R

Begriffsdefinition SA/QA-FEAS

“Erfüllbarkeit von semi/quasi-algebraischen Systemen”

(X , X _yes ) mit

X = { Φ = ( ϕ 1 ,...ϕ m ) | ϕ j = (f _j1 ,... f _jl , g _j1 ,..., g _jr ) , f _ji , g _jk ∈ R[x ₁ ,..., x _n ] } , ϕ ⁰ _j (x) = W l

n=1 f _jn (x) > 0 ∨ W r

n=1 g _jn (x ) = 0 ,

ϕ ⁰ = V m

j=1 ϕ ⁰ _j ,

X yes = { Φ ∈ X | S _ϕ

, ∅}

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Beweisvorbereitung Zugehörigkeit

UPSE Sei W = { (f , z) | f ∈ R[x ₁ ,..., x _n ] ^m , z ∈ R ⁿ , m , n ∈ N }

Für (f , z) ∈ W berechnet UPSE f(z)

0,1/Z/R

Beweis: SA/QA-FEAS ∈ NP _R bzgl. unit-cost

Maschine M:

input Φ

2: guess z ∈ R ⁿ

use UPSE to compute y := Φ(z)

4: if check(y) output 1 else output 0

mit check: prüfe > /= 0, ∧ / ∨ wie gefordert

X Integrität: ∀ Φ . ( ∃ z . Φ _M (Φ , z) = 1 ⇔ ϕ ⁰ erfüllbar)

X polynomielle Laufzeit in size(Φ)

0,1/Z/R

Beweis: SA/QA-FEAS ∈ NP _R bzgl. unit-cost

Maschine M:

input Φ

2: guess z ∈ R ⁿ

use UPSE to compute y := Φ(z)

4: if check(y) output 1 else output 0

mit check: prüfe > /= 0, ∧ / ∨ wie gefordert

X Integrität: ∀ Φ . ( ∃ z . Φ _M (Φ , z) = 1 ⇔ ϕ ⁰ erfüllbar)

X polynomielle Laufzeit in size(Φ)

0,1/Z/R

Beweis: SA/QA-FEAS ∈ NP _R bzgl. unit-cost

Maschine M:

input Φ

2: guess z ∈ R ⁿ

use UPSE to compute y := Φ(z)

4: if check(y) output 1 else output 0

mit check: prüfe > /= 0, ∧ / ∨ wie gefordert

X Integrität: ∀ Φ . ( ∃ z . Φ _M (Φ , z) = 1 ⇔ ϕ ⁰ erfüllbar)

X polynomielle Laufzeit in size(Φ)

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 1/6 : Reduktion endl. Masch.

Berechnungsendomorphismus: H : N × S → N × S,

Berechnungen: z ⁰ = (1 , I (x)) ,..., z ^k = ( η ^k , x ^k ) = H ^k (z ⁰ ) ,...

γ (k ) nutzt maximal K _M + k Koordination von S = R ∞

γ ∈ Γ T : “basic active state space” S _m = R ^2m , m = K _m + T

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 1/6 : Reduktion endl. Masch.

Berechnungsendomorphismus: H : N × S → N × S,

Berechnungen: z ⁰ = (1 , I (x)) ,..., z ^k = ( η ^k , x ^k ) = H ^k (z ⁰ ) ,...

γ (k ) nutzt maximal K _M + k Koordination von S = R ∞

γ ∈ Γ T : “basic active state space” S _m = R ^2m , m = K _m + T

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 2/6 : Neue Abbildungen

e π : S = R ∞ → S m = R ^2m , x 7→ (x − (m − 1) ,... x ₀ , x ₁ ,... x m ) e ι : S _m → S , x 7→ ( ..., 0 , x − (m − 1) ,... x ₀ . x ₁ ,... x _m , 0 ,... )

e I = e π ◦ I , e O = O ◦ e ι

e g _η = e π ◦ g _η ◦

e ι : S m → S m , 1 η = 1 , N , oder branch : e g _η = id 2 η computation:

e g _η (x) = (x − (m − 1) ,..., x 0 , g ⁰ ₁ (x ⁰ ) ,..., g _K ⁰

M

(x ⁰ ) , x K

+1 ,..., x m ), x ⁰ = (x ₁ ,..., x _K

)

3 η shift, g _η = σ l ( σ r analog) :

g _η (x ,... x , x ,... x ) = (x ,... x , x ,... x , 0)

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 2/6 : Neue Abbildungen

e π : S = R ∞ → S m = R ^2m , x 7→ (x − (m − 1) ,... x ₀ , x ₁ ,... x m ) e ι : S _m → S , x 7→ ( ..., 0 , x − (m − 1) ,... x ₀ . x ₁ ,... x _m , 0 ,... )

e I = e π ◦ I , e O = O ◦ e ι

e g _η = e π ◦ g _η ◦

e ι : S m → S m , 1 η = 1 , N , oder branch : e g _η = id 2 η computation:

e g _η (x) = (x − (m − 1) ,..., x 0 , g ⁰ ₁ (x ⁰ ) ,..., g _K ⁰

M

(x ⁰ ) , x K

+1 ,..., x m ), x ⁰ = (x ₁ ,..., x _K

)

3 η shift, g _η = σ l ( σ r analog) :

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 2/6 : Neue Abbildungen

e π : S = R ∞ → S m = R ^2m , x 7→ (x − (m − 1) ,... x ₀ , x ₁ ,... x m ) e ι : S _m → S , x 7→ ( ..., 0 , x − (m − 1) ,... x ₀ . x ₁ ,... x _m , 0 ,... )

e I = e π ◦ I , e O = O ◦ e ι

e g _η = e π ◦ g _η ◦

e ι : S m → S m , 1 η = 1 , N , oder branch : e g _η = id 2 η computation:

e g _η (x) = (x − (m − 1) ,..., x 0 , g ⁰ ₁ (x ⁰ ) ,..., g _K ⁰

M

(x ⁰ ) , x K

+1 ,..., x m ), x ⁰ = (x ₁ ,..., x _K

)

3 η shift, g _η = σ l ( σ r analog) :

g _η (x ,... x , x ,... x ) = (x ,... x , x ,... x , 0)

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 3/6 : Registergleichungen I/II

1 ^st g : N × S → S , ( η, x) 7→ g _η (x) , β : N × S → N , ( η, x) 7→



 

 

 

 

β _η ,η ∈ C β ⁻ _η ,η ∈ B , x ₁ < 0 β ⁺ _η ,η ∈ B , x ₁ ≥ 0

, H( η, x) = ( β ( η, x ) , g( η, x))

2 ^nd β : N × S → N , g : N × S → S

x ∈ Ω T ⇔ (( η ⁰ , x ⁰ ) ,..., ( η ^T , x ^T )) ∈ ( N × S) ^{T +1}

η ^k = β(η ^{k − 1} , x ^{k − 1} ), x ^k = g(η ^{k − 1} , x ^{k − 1} ) (k = 1 ,... T )

( η ⁰ , x ⁰ ) = (1 , I (x)) , η ^T = N

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 3/6 : Registergleichungen I/II

1 ^st g : N × S → S , ( η, x) 7→ g _η (x) , β : N × S → N , ( η, x) 7→



 

 

 

 

β _η ,η ∈ C β ⁻ _η ,η ∈ B , x ₁ < 0 β ⁺ _η ,η ∈ B , x ₁ ≥ 0

, H( η, x) = ( β ( η, x ) , g( η, x))

2 ^nd β : N × S → N , g : N × S → S

x ∈ Ω T ⇔ (( η ⁰ , x ⁰ ) ,..., ( η ^T , x ^T )) ∈ ( N × S) ^{T +1}

η ^k = β(η ^{k − 1} , x ^{k − 1} ), x ^k = g(η ^{k − 1} , x ^{k − 1} ) (k = 1 ,... T )

( η ⁰ , x ⁰ ) = (1 , I (x)) , η ^T = N

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 4/6 : Registergleichungen II/II

Betrachte S = R ∞ als S m = R ^2m

Berechnbarkeit über R durch N , → R ^N , j 7→ e j : b β : R ^N × R ^2m → R ^N , b g : R ^N × R ^2m → R ^2m , b β ( α, x) = P N

j=1 α j e

e β (j , x) , b g( α, x) = P N

j=1 α j e g(j , x) , b H = (b β,b g) : R ^N × R ^2m → R ^N × R ^2m

3 ^rd α ^k − b β ( α ^{k − 1} , x ^{k − 1} ) = 0 , x ^k −

b g( α ^{k − 1} , x ^{k − 1} ) = 0 (k = 1 ,... T ) ( α ⁰ , x ⁰ ) − (e ₁ , e I (x)) = 0 , α ^T − e _N = 0

Optional: x ₀ ^T = x ₁ ^T = 1 , x ₋ ^T ₁ = 0

R Für x = (x ,... x ) , z = ( α ⁰ , x ⁰ ,...α ^T , x ^T ) heissen 1 ^st / 2 ^nd / 3 ^rd

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 4/6 : Registergleichungen II/II

Betrachte S = R ∞ als S m = R ^2m

Berechnbarkeit über R durch N , → R ^N , j 7→ e j : b β : R ^N × R ^2m → R ^N , b g : R ^N × R ^2m → R ^2m , b β ( α, x) = P N

j=1 α j e

e β (j , x) , b g( α, x) = P N

j=1 α j e g(j , x) , b H = (b β,b g) : R ^N × R ^2m → R ^N × R ^2m

3 ^rd α ^k − b β ( α ^{k − 1} , x ^{k − 1} ) = 0 , x ^k −

b g( α ^{k − 1} , x ^{k − 1} ) = 0 (k = 1 ,... T ) ( α ⁰ , x ⁰ ) − (e ₁ , e I (x)) = 0 , α ^T − e _N = 0

Optional: x ₀ ^T = x ₁ ^T = 1 , x ₋ ^T ₁ = 0

R Für x = (x ₁ ,... x _n ) , z = ( α ⁰ , x ⁰ ,...α ^T , x ^T ) heissen 1 ^st / 2 ^nd / 3 ^rd

,

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 4/6 : Registergleichungen II/II

Betrachte S = R ∞ als S m = R ^2m

Berechnbarkeit über R durch N , → R ^N , j 7→ e j : b β : R ^N × R ^2m → R ^N , b g : R ^N × R ^2m → R ^2m , b β ( α, x) = P N

j=1 α j e

e β (j , x) , b g( α, x) = P N

j=1 α j e g(j , x) , b H = (b β,b g) : R ^N × R ^2m → R ^N × R ^2m

3 ^rd α ^k − b β ( α ^{k − 1} , x ^{k − 1} ) = 0 , x ^k −

b g( α ^{k − 1} , x ^{k − 1} ) = 0 (k = 1 ,... T ) ( α ⁰ , x ⁰ ) − (e ₁ , e I (x)) = 0 , α ^T − e _N = 0

Optional: x ₀ ^T = x ₁ ^T = 1 , x ₋ ^T ₁ = 0

R Für x = (x ,... x ) , z = ( α ⁰ , x ⁰ ,...α ^T , x ^T ) heissen 1 ^st / 2 ^nd / 3 ^rd

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 4/6 : Registergleichungen II/II

Betrachte S = R ∞ als S m = R ^2m

Berechnbarkeit über R durch N , → R ^N , j 7→ e j : b β : R ^N × R ^2m → R ^N , b g : R ^N × R ^2m → R ^2m , b β ( α, x) = P N

j=1 α j e

e β (j , x) , b g( α, x) = P N

j=1 α j e g(j , x) , b H = (b β,b g) : R ^N × R ^2m → R ^N × R ^2m

3 ^rd α ^k − b β ( α ^{k − 1} , x ^{k − 1} ) = 0 , x ^k −

b g( α ^{k − 1} , x ^{k − 1} ) = 0 (k = 1 ,... T ) ( α ⁰ , x ⁰ ) − (e ₁ , e I (x)) = 0 , α ^T − e _N = 0

Optional: x ₀ ^T = x ₁ ^T = 1 , x ₋ ^T ₁ = 0

R Für x = (x ₁ ,... x _n ) , z = ( α ⁰ , x ⁰ ,...α ^T , x ^T ) heissen 1 ^st / 2 ^nd / 3 ^rd

,

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 5/6 : Folgerungen I/II

x ∈ Ω _T ⇔ R _T (x , z) lösbar über R

S01 R _T (x , z) ist äquivalent zu semi/quasi-algebraischem System Φ T (x , z), mit

.1 # R-Variablen ≤ n + cT ²

.2 # polynomieller Gleichungen ≤ cT ² , jedes hat Grad ≤ c .3 # linearer Ungleichungen ≤ 2T

wobei c nur von N , D _M , K _M abhängt

. . .

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 5/6 : Folgerungen I/II

x ∈ Ω _T ⇔ R _T (x , z) lösbar über R

S01 R _T (x , z) ist äquivalent zu semi/quasi-algebraischem System Φ T (x , z), mit

.1 # R-Variablen ≤ n + cT ²

.2 # polynomieller Gleichungen ≤ cT ² , jedes hat Grad ≤ c .3 # linearer Ungleichungen ≤ 2T

wobei c nur von N , D _M , K _M abhängt

. . .

0,1/Z/R

Beweisvorb. Härte 6/6 : Folgerungen II/II

R (x , z) heisst n-äquivalent zu Φ(x , w) , falls π n (S R ) = π n (S _Φ ), mit

S R = { (x , z) ∈ R ^n+t |R (x , z) erfüllt über R } S Φ = { (x , w) ∈ R ^n+s | Φ(x , w ) erfüllt über R } S02 Auf (F , =) sowie ( Z,< ) , ( Q,< ) , ( R,< ) gilt:

a) R _T (x ,z) ist n-äquivalent zu algebraischem System

Φ _T (x ,w), mit Schranken wie in S01.

. . .

0,1/Z/R

Beweis: SA/QA-FEAS ist NP _R -hart 1/5

“ ∀ S ∈ NP _R . S , → _p SA/QA-FEAS”

Sei (Y , Y _yes ) SA/QA-FEAS, (X , X _yes ) ∈ NP _R . Benötigt: p-Morphismus ϕ : X → Y mit

∀ x ∈ X . x ∈ X _yes ⇔ ϕ (x ) ∈ Y _yes .

Anwendung der Registergleichungen auf NP _R -Maschine M für (X , X _yes ), mit c , q > 0 , cost _M (x , w) ≤ c · size(x) ^q

⇒ Für (x , w) , T > 0 berechne z; R ⁽¹⁾

T ((x , w) , z ) sind die Zeit-T

Registergleichungen, sodass Ausgabewert = 1 gilt

0,1/Z/R

Beweis: SA/QA-FEAS ist NP _R -hart 1/5

“ ∀ S ∈ NP _R . S , → _p SA/QA-FEAS”

Sei (Y , Y _yes ) SA/QA-FEAS, (X , X _yes ) ∈ NP _R . Benötigt: p-Morphismus ϕ : X → Y mit

∀ x ∈ X . x ∈ X _yes ⇔ ϕ (x ) ∈ Y _yes .

Anwendung der Registergleichungen auf NP _R -Maschine M für (X , X _yes ), mit c , q > 0 , cost _M (x , w) ≤ c · size(x) ^q

⇒ Für (x , w) , T > 0 berechne z; R ⁽¹⁾

T ((x , w) , z ) sind die Zeit-T

Registergleichungen, sodass Ausgabewert = 1 gilt

0,1/Z/R

Beweis: SA/QA-FEAS ist NP _R -hart 1/5

“ ∀ S ∈ NP _R . S , → _p SA/QA-FEAS”

Sei (Y , Y _yes ) SA/QA-FEAS, (X , X _yes ) ∈ NP _R . Benötigt: p-Morphismus ϕ : X → Y mit

∀ x ∈ X . x ∈ X _yes ⇔ ϕ (x ) ∈ Y _yes .

Anwendung der Registergleichungen auf NP _R -Maschine M für (X , X _yes ), mit c , q > 0 , cost _M (x , w) ≤ c · size(x) ^q

⇒ Für (x , w) , T > 0 berechne z; R ⁽¹⁾

T ((x , w) , z ) sind die Zeit-T

Registergleichungen, sodass Ausgabewert = 1 gilt

0,1/Z/R

Beweis: SA/QA-FEAS ist NP _R -hart 2/5

“ ∀ S ∈ NP _R . S , → _p SA/QA-FEAS”

R ⁽¹⁾

T (x , w , z) ist äquivalent zu semi/quasi-algebraischen System Φ ⁽¹⁾ _T (x , w , z), d.h.

(x , w) ∈ Ω T (1) ⇔ Φ ⁽¹⁾ _T ((x , w) , z ⁰ ) ist erfüllbar.

0,1/Z/R

Beweis: SA/QA-FEAS ist NP _R -hart 3/5

“ ∀ S ∈ NP _R . S , → _p SA/QA-FEAS”

Konstruiere p-Reduktion:

Für x ∈ X sei ϕ (x ) = Φ ⁽¹⁾ _T (x , (w , z)), mit T = c · size(x ) ^q , und w = (w ₁ ,..., w _m ) , m = c · size(x ) ^q + K _M

Für n = length(x) + m ist

length(z), # poly. (Un-)Gleich. in Φ ⁽¹⁾ _T (x , w , z) ≤ Poly . (n , T ),

n , T selber polynomiell in size(x)

0,1/Z/R

Beweis: SA/QA-FEAS ist NP _R -hart 3/5

“ ∀ S ∈ NP _R . S , → _p SA/QA-FEAS”

Konstruiere p-Reduktion:

Für x ∈ X sei ϕ (x ) = Φ ⁽¹⁾ _T (x , (w , z)), mit T = c · size(x ) ^q , und w = (w ₁ ,..., w _m ) , m = c · size(x ) ^q + K _M

Für n = length(x) + m ist

length(z), # poly. (Un-)Gleich. in Φ ⁽¹⁾ _T (x , w , z) ≤ Poly . (n , T ),

n , T selber polynomiell in size(x)

0,1/Z/R

Beweis: SA/QA-FEAS ist NP _R -hart 4/5

“ ∀ S ∈ NP _R . S , → _p SA/QA-FEAS”

⇒ size(Φ ⁽¹⁾ _T (x , w , z)) ist durch Polynom in size(x) beschränkt,

X ϕ ist also p-Morphismus

0,1/Z/R

Beweis: SA/QA-FEAS ist NP _R -hart 5/5

“ ∀ S ∈ NP _R . S , → _p SA/QA-FEAS”

ϕ ist Reduktion:

x ∈ X yes

D1 , T = c · size(x ) ^q

⇔

∃ w ∈ R ^∞ , length(w) = m . Φ _M (x , w) = 1 , cost _M (x , w) ≤ T ⇔

(x , w) ∈ Ω _T (1) ⇔

0,1/Z/R

[Weitere Probleme und Resultate

in NP { 0,1 } /Z/R ]

0,1/Z/R

Problemdefinitionen

HN Gegeben Menge von Polynomen, Koeffizienten aus C , entscheide ob diese gleiche Nullstelle haben

4-FEAS Polynome limitiert auf Grad 4, Koeffizienten in R

QUAD Verallgemeinert auf Ring R,

Lösung quadratischer Gleichungen

SAT Erfüllbarkeit aussagenlogischer Formel

0,1/Z/R

Resultate

QA/SA-FEAS sind NP-hart auf (R , = / < ) (vollst. bzgl unit ) HN ist NP-hart auf (F , =),

QUAD auch,

mit 4-FEAS auch auf (Z/Q/R,<) (vollst. bzgl unit ) HN < DEC _{( Z,< )} (Matiyasevich’s)

Turingmasch. Halteproblem < NP, aber NP-hart Faktorisierung ist ∈ NP, nicht(?) NP-hart

P = NP reduziert auf Teilprobleme: z.B. HN ∈ P

0,1/Z/R

Ausblick: Cook’s Theorem

SAT ist NP-vollständig

0,1/Z/R

Ausblick

nächste Woche: 4-FEAS/ SAT(?) sind NP-vollständig

Abbildung: Quelle: Complexity and Real Computation

0,1/Z/R

Ausblick

nächste Woche: 4-FEAS/ SAT(?) sind NP-vollständig

0,1/Z/R

any questions?

Abbildung: no caption

0,1/Z/R

Quellen

Complexity and Real Computation, 97 Blum, Cucker, Shub, Smale

On the Complexity of Quantifier Elimination:

the Structural Approach, 93, Cucker