1 a)
B =rA=
0
4 0
x
y
z 1
A
0
_ p
x
=r
_ p
y
=r
_ p
z
=r 1
A
mit pp(t r=).
j _ p
i
r
= 1
r (
j _ p
i )
1
r 2
(
j r)p_
i
j _ p
i
= 1
p
i (
j r)
j r =
x
j
r
)
j _ p
i
r
=
1
1
r
p
i 1
r 2
_ p
i
x
j
r
= 1
1
r
p
i (e
r )
j
Fur r ! 1 fallt der zweite Term shneller ab als der erste, also haben wir nur den ersten (den
fuhrenden) mitgenommen.
) B=
0
4 1
r e
r
p
E= r
t A
Dazu:
r = 1
4"
0
X
i r
x
i
r 2
_ p
i
j
x
i
r 2
_ p
i
= 1
r 3
(
j r)x
i _ p
i +
1
r 2
(
j x
i )p_
i +
1
r 2
x
i (
j _ p
i )
= 1
r 2
x
j
r
x
i
r
_ p
i +
1
r 2
_ p
i Æ
ij 1
r 1
x
i
r
x
j
r
p
i
Furr !1ist der letzte Term der fuhrende
) r=
1
4"
1
r (e
r
p)e
r
Auerdem:
t A=
0
4 1
r
p
) E=
0
4 1
r [(e
r
p)e
r
p℄
Die im
Ubungsblatt angegebene Formel ergibtdasselbe, wenn mandieRelation(JaksonSeite 0)
a(b)=b(a) (ab) (1)
darauf loslat. Zur Not kann man sih auh komponentenweise davon
uberzeugen ...
b)
Dipolmomentwie in Elektrostatik:
p(t)= Z
d 3
r(r;t)r
Hier:
(r;t)=eÆ(r r
0
(t)) ; r
0
(t)=e
z
d sin(!
0 t)
also
p(t)=er
0
(t)=p
0 sin(!
0
t) ; p
0
=e
z p
0
; p
0
=ed ) p (t) = p
0
! 2
0 sin(!
0 t)
Damit
pe
r
= p
0
! 2
0 sin(!
0
[t r=℄)( e
z e
r
| {z }
=sin()e
' )
mit Kugelkoordinaten(r;;') furdiez-Ahse jj Dipolmoment,und den orthonormalenEinheits-
vektoren
e
r
= 0
sin()os(')
sin()sin(')
os () 1
A
; e
'
= 0
sin(')
os (')
0 1
A
; e
= 0
os()os(')
os ()sin(')
sin() 1
A
Man kann naturlihdas Kreuzprodukt komponentenweise ausfuhren,mitdemselben Ergebnis.
) B(r;t)=
0
4 1
r
! 2
0 p
0 sin(!
0
[t r=℄) sin()e
'
; p
0
=ed
Und:
E(r;t)=
0
4 1
r
! 2
0 p
0 sin(!
0
[t r=℄) sin() (e
' e
r )
| {z }
=e
Strahlungsfeld:
Betrag: in Rihtung des Dipols, = 0;, keine Abstrahlung; senkreht zum Dipol, = =2,
maximale Amplitude.
Rihtung: E ? B ? e
r
; B e
'
ist Wirbelfeld um Dipol-Ahse; E e
zeigt entlang der
Kugeloberahe vonNord nahSud (oder umgekehrt).
Polarisation:Die Rihtung vonE ist e
=konst. furr= konst., alsolinearePolarisation.
)
Ladungsdihte:
(r;t)=eÆ(r) eÆ(r r
0
(t)) ; r
0
(t)=R 0
os (!
0 t)
sin(!
0 t)
0 1
A
Zum Dipolmomenttragt nurdie2. Ladung e bei,
p(t)= er
0
(t) ; p(t) =eR ! 2
0 0
os(!
0 t)
sin(!
0 t)
0 1
A
Dies einsetzen liefert
B(r;t) =
0
4 1
r
(pe
r )
=
0
4 1
r eR !
2
0 h
os (!
0 t
0
) 0
0
os()
sin()sin(') 1
A
+sin(!
0 t
0
) 0
os ()
0
sin()os(') 1
A i
t 0
=t r
Polarisation:
=0 : ) B=
0
4 1
r eR !
2
0 0
sin(!
0 t
0
)
os(!
0 t
0
)
0
1
A
Im Gegensatz zu b) ist in z-Rihtung Strahlung vorhanden, und zwar zirkular polarisiert; man
sieht den rotierenden Dipolvonoben.
==2 : ) B =
0
4 1
r eR !
2
0 0
0
0
sin(!
0 t
0
') 1
A
Dies istahnlihwieb), allerdingsistB inz-Rihtung linearpolarisiert,dader oszillierendeStrom
E istjetzt mal nur fur dieSpezialfalle =0;=2angegeben, was leiht aus E =(Be
r
) folgt,
wenn man vorher =0oder =2 einsetzt:
=0 : ) E(r;t)=
0
4 1
r eR !
2
0 0
os(!
0 t
0
)
sin(!
0 t
0
)
0 1
A
==2 : ) E(r;t)=
0
4 1
r eR !
2
0 sin(!
0 t
0
) 0
sin(')
os(')
0 1
A
Die Polarisationistnaturlihjeweils dieselbe wie B, mit(jeweils)E? B.
d)
Es istE =B=0.
Durh die Rotation der Kugel wird zwar Ladung bewegt und es iet Strom, aber die Ladungs-
dihteist konstant, genauso wie dieStromdihte. Daherwird keine Strahlung emittiert.
Oder: Die Kugel hat zwar einDipolmoment,aberdas istzeitlihkonstant.
e)
S= 1
0
EB ; E=(Be
r
) ) S=
0
(Be
r
)B=
0
B(e
r B)
Mankannnun fureinbeliebigesB =(B
x
;B
y
;B
z
)komponentenweise ausrehnen, oder Gl.(1)von
oben verwenden:
S=
0 [e
r
(BB) (Be
r )B℄=
0 jBj
2
e
r
; mit B ?e
r
Die Energiestromdihte zeigt alsoimmer inradialer Rihtung nahauen.
Furdas B aus b) folgtdamit
S=e
r
0
(4) 2
p
4
0
! 4
0
r 2
sin 2
()sin 2
(!
0
[t r=℄)
Die Abhangigkeitsin 2
() liefertdietypishe Strahlungsharakteristik.
f)
S= Energie/Zeit/Flahe.
Die Leistung (Energie/Zeit) durhdie Kugeloberahe ist also
I(t)= Z
V
Sda=R 2
Z
2
0 d'
Z
1
1
d(os )Se
r
=R 2
2
0
(4) 2
p
4
0
! 4
0
R 2
sin 2
(!
0 t
0
) Z
1
1
d(os ) sin 2
()
) I(t)=
0
p 4
0
! 4
0 sin
2
(!
0 t
0
) ; t 0
=t r
; p
0
=ed
Zeitmittel:
I = 1
T Z
T
0
dtI(t) ; T = 2
!
0
Da uber eine komplettePeriode integriert wird,konnen wir unter dem Integral imsin 2
(!
0 t
0
) das
t 0
durh t ersetzen:
!
0
2 Z
2=!
0
0
dt sin 2
(!
0 t)=
1
2
damit
I =
0
12 p
4
0
! 4
0
Die mittlere durh die Kugelshale transmittierte Leistung ist oenbar von R unabhangig. Das
mujaauhsosein, denndievomDipolabgestrahlteEnergiesolltejaerhaltensein (aufdemWeg
durhs Vakuum). Die 1=r-Faktoren, dieimmer inden Feldern B, E auftauhen, sind alsofurdie
Energieerhaltung wihtig (sonst wurde I mitR 2
zunehmen).
Da der Dipol aus einer angetriebenen Ladung besteht (Modell fur eine Antenne), kann beliebig
Energienahgeliefertwerden,undI istzeitlihkonstant.FureinElektron,daseinenKernumkreist
z.B. istdas nihtso,unddieabgestrahlteLeistungwirdshwaher, wahrenddas Elektronaufden
Kern trudelt. $Quantenmehanik!
