f f f ◦ f f f f B ( v,v ) 6 =0 v ∈ V \{ 0 } B f : V → V B V A A ∈ O ( n ) ⇒ A ∈ O ( n ) t V B = { 1 ,x,x ,x } 2 3 − 1 h .,. i : V → p V, ( t ) q h p,q ( t ) dt. i = Z 1 ( V, h .,. i ) ≤ 3 R U 2 3 U ⊆ R e =(0 , 1 , 0) e =(0 , 0 , 1) 3 t t h .,. i : R × R →

Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra II

Blatt9

Aufgabe 1

Sei

A =





1 −1 1

−1 2 −1

1 −1 3



 .

a) ZeigenSie,dassdieAbbildung

h., .i : R ³ × R ³ → R

^,

hv, wi = v ^t Aw

^einSkalarprodukt ist.

b) Sei

U ⊆ R ³

^{der von}

e 2 = (0, 1, 0) ^t

^und

e 3 = (0, 0, 1) ^t

aufgespannte Untervektor- raum. Bestimmen SieeineOrthonormalbasis von

U

^{bezüglih desina)}angegebenen Skalarprodukts.

Aufgabe 2

Sei

(V, h., .i)

^{dereuklidishe Vektorraum derPolynomevom Grad}

≤ 3

^über

R

^mit

h., .i : V → V, hp, qi =

1

Z

−1

p(t)q(t)dt.

Bestimmen sie, ausgehend von der Basis

B = {1, x, x ² , x ³ }

^{,mit Hilfe des}Gram-Shmidt- Verfahrens eineOrthonormalbasis von

V

^.

Aufgabe 3

a) Sei

A

^eine quadratishe reelleMatrix. Zeigen Sie:

A ∈ O(n) ⇒ A ^t ∈ O(n)

^.

b) Zeigen Sie: Eine reelle quadratishe Matrix ist genau dann orthogonal, wenn ihre

Zeilen eine Orthonormalbasis bilden.

Aufgabe 4

Sei

V

^ein endlih-dimensionaler Vektorraum mit niht entarteter symmetrisherBilinear- form

B

^.Sei

f : V → V

^{einebezüglih}

B

selbstadjungierte lineareAbbildung. Mannehme zusätzlihan,daÿ

B(v, v) 6= 0

^{für alle}

v ∈ V \ {0}

^.

ZeigenSie:

a) Kern und Bildvon

f

^{sindorthogonalzu einander.}

b) Der Durhshnitt vom Kernvon

f

^{mit demBildvon}

f

^{enthält nur den} Nullvektor.

) Der Kernvon

f

^{stimmt mit demKern von}

f ◦ f

^überein.

d) Wenn

f

^{nilpotent ist, dannist esbereits die}Nullabbildung.

a) Sei

(V, h., .i)

^einendlihdimensionaler euklidisherVektorraum.

ZeigenSie:dieÜbergangsmatrix

M _C ^B

^voneinerOrthonormalbasis

B

^{zueineranderen}

Orthonormalbasis

C

^iststets orthogonal.

b) Sei

A ∈

^GL

n ( R )

^{. Zeigen Sie: Dann gibt es eine Matrix}

Q ∈ O(n)

^{und eine rehte}

obereDreieksmatrix

R

^mit

A = Q · R.

Hinweis: Verwenden Siea).

Abgabe: Montag, den 29.06.2009, bis 18:00 Uhr.

Hinweise: Bitte Namen und Übungsgruppe auf das Blatt shreiben. Maximal 2 Namen