Institut f
ur Theoretishe Teilhenphysik
Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Dr. Robert Harlander, Dr. JanBrinkmann 03.11.04
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre robert.harlanderern.h janbritkm.uni-karlsruhe.de
Ubungsblatt Nr. 3 zur Theorie C fur Lehramtskandidaten
1 Greenshe Funktionen sind Losungen der Gleihung G(r;r 0
)=Æ(r r 0
).
[ShreibenSieeinmalÆ(r r 0
)explizitan, furkartesishe,Zylinder-undKugelkoordinaten.℄
Im Folgenden betrahten wir einVolumenV bzw. dessen Oberahe (Rand) V .
Zeigen Sie, da furdieGreenshe Funktion gilt:
Z
V
rG(r;r 0
)da Z
V
(nrG(r;r 0
))da=
1 falls r 0
2V
0 sonst
Zeigen Sie, da das Potential (r) = 1
"
0 Z
V
G(r;r 0
)(r 0
)d 3
r 0
+
0
eine Losung der
Poisson-Gleihung (r)= 1
"0
(r) darstellt(r2V).
Wasfolgt fur G(r;r 0
) imFalleiner Punktladung am Ort R2V : (r)=QÆ(r R)?
2 Dirihlet-Problem: Elektron in einer Kavitat:
In einem geerdeten Metallblok bende sih eine Hohlkugel V mit Radius R, dieRandbe-
dingung furdas Potential(r) innerhalb V lautet also (r)j
r2V
=0.
Wasfolgtdarausfurdas E-Feldaufder Oberahe V ? WieverlaufendieFeldliniendort?
Bestimmen Sie(r) einerPunktladung Q amOrt r 0
furr;r 0
2V .SimulierenSiedieRand-
bedingung durh eine \Spiegelladung" geeigneter Position und Ladung.
Geben SiedieGreenshe Funktion an(vergl. 1b)).
3 Dirihlet-Problem: Geladene Stange vor Metallblok:
Betrahten Sie einen unendlih ausgedehnten, geerdeten Metallblok im linken Halbraum
x0. Die Randbedingung fur das Potential imHalbraumx0 lautet also (r)j
x=0
=0.
a) BestimmenSiedas PotentialfureinePunktladungamOrtr 0
imHalbraumx 0
>0
uber
eine geeignete Spiegelladungund darausdieGreenshe Funktion G
D (r;r
0
).
b) Berehnen Sie nun
uber G
D
das Potential einer geladenen Stange der Lange 2L im
Abstand a zur Oberahe, d.h., essei (r)=
0
Æ(x a)Æ(y)(L jzj).
Ist dieRandbedingung erfullt? Ist lim
x!1
(r) =0?
4 Legendre-Polynome P
l
(x) folgenaus der Entwiklung der Greenshen Funktion inKu-
gelkoordinaten, r 0
<r :
1
jr r 0
j
= 1
r 1
X
l =0
r 0
r
l
P
l
(os ()) ; =^(r;r 0
)
a) Mangewinne P
l
(x)furl =0;1;2;3 aus der Entwiklung von1=jr r 0
j furr 0
r.
b) BestimmenSie dieP
l
(x) furl =0;1;2;3aus der Formelvon Rodrigues,
P
l (x)=
1
2 l
l!
d l
dx l
(x 2
1) l
, und vergleihen Sie mita)und der Literatur.
)
Uberprufen Sie Z
1
1 dxP
l (x)P
k
(x)=Æ
l ;k 2
2l+1
fur l;k =0;1;2.
