(i) Zeigen Sie, dassf ∈ C1(R) gilt und berechnen Sie die Konditionszahlκx von f für x→0

Philipps-Universität Marburg Sommersemester 2017 Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. B. Schmitt, A. Görlich

Übungen zur Vorlesung Numerische Basisverfahren 7. Aufgabenblatt

Aufgabe 24 (6)

Die Funktion

f(x) =

( _cos(x)−1

x² , x6= 0

−¹₂ , x= 0 soll in der Umgebung des Nullpunkts ausgewertet werden.

(i) Zeigen Sie, dassf ∈ C¹(R) gilt und berechnen Sie die Konditionszahlκ_x von f für x→0. (ii) Zerlegen Siefin Teilabbildungen gemäÿf =ϕ^[4]◦ϕ^[3]◦ϕ^[2]◦ϕ^[1], wobeiϕ^[2],ϕ^[3] :R²→R² gelte. Berechnen Sie anschlieÿend die Konditionszahlen der Restabbildungenϕ^[4]◦ · · · ◦ϕ^[i], i= 2,3,4, im Punktϕ^[i−1]◦ · · · ◦ϕ^[1](x) für x→0.

(iii) Geben Sie eine äquivalente Darstellung vonf an, bei der für|x| 1 alle Teiloperationen gut konditioniert sind.

Aufgabe 25 (4)

Gegeben sei das Problem der Auswertung der Funktionf(x) = 1−_1+x¹₂,x∈R.

(i) Bestimmen Sie die Kondition des Problems für alle x ∈ R\ {0} und begründen Sie, für welchex es gut bzw. schlecht konditioniert ist.

(ii) Der Eingabewertx sei mit einem relativen Fehler von5%behaftet. Welcher relative Fehler ist bei exakter Rechnung in erster Ordnung in der Ausgabe zu erwarten?

(iii) Welches Problem tritt bei der Auswertung vonf in Maschinenzahlen fürx≈0auf? Finde für diese Eingabewerte eine günstigere Darstellung von f.

Aufgabe 26 (4)

Für eine MatrixA= (aij)∈R^m×nsei |A|:= (|a_ij|). Beweisen Sie:

(i) FürA∈R^m×n,B ∈R^n×r gilt (komponentenweise)|AB| ≤ |A| · |B|mit Gleichheit z.B. im Fall A=diag(a_ii)∈R^n×n.

(ii) Für reguläresD=diag(dii)∈R^n×n ist auch|D|regulär mit|D|⁻¹ =|D⁻¹|.

(iii) Für A ∈ R^m×n gilt kAk_∞ = k|A|k_∞ = k|A| ·1lk_∞ und kAk₁ = k|A|k₁ = k|A|^T1lk_∞, 1l:= (1, . . . ,1)^T.

(iv) FürA, B ∈R^m×n sind die Matrix-Normen k · k_p,p∈ {1,∞},monoton, d.h. aus |A| ≤ |B|

folgt schonkAk_p ≤ kBk_p.

Aufgabe 27 (4)

Zu einer MatrixA∈R^n×n sei die Gesamtnorm deniert durch kAk_G:=n·maxⁿ

i,j=1|a_ij|.

(i) Zeigen Sie, dasskABk_G ≤ kAk_G· kBk_G gilt.

(ii) Zeigen Sie, dass k · k_G verträglich ist mit allen Hölder-Vektornormenk · k_p,p≥1.

Hinweis: Für x, y∈Rⁿ gilt die Hölderungleichung|y^Tx| ≤ kyk_q· kxk_p, wobei ¹_p +¹_q = 1.

Abgabe: Mittwoch, 14.06.17, vor der Vorlesung.