Philipps-Universität Marburg Sommersemester 2017 Fachbereich Mathematik

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Philipps-Universität Marburg Sommersemester 2017 Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. B. Schmitt, A. Görlich

Übungen zur Vorlesung Numerische Basisverfahren 1. Aufgabenblatt

Aufgabe 1 (5)

a) Gegeben sind die folgenden vier verschiedenen Datensätze (x

i

, y

i

), i = 0, . . . , 4:

D

₁

= {(0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3)} , D

₂

= {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 1), (4, 0)} , D

₃

= {(0, 1), (1, 2), (2, 5), (3, 10), (4, 17)} , D

₄

= {(0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 5), (4, 4)} .

Skizzieren Sie als Erstes die Datensätze und benutzen Sie die daraus resultierenden Er- kenntnisse über den Verlauf der Funktionen, um (möglicherweise direkt) interpolierende Polynome für die Daten anzugeben.

b) Interpolieren Sie den folgenden Datensatz mit Hilfe des Lagrange-Polynoms.

x

i

−1 0 1

y

i

e

⁻¹

e

⁰

e

¹

Aufgabe 2 (5)

a) Sei Π

_n

der Vektorraum aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich n . Seien {x

₀

, ..., x

_n

} paarweise verschiedene Stützstellen. Zeigen Sie, dass die Lagrange-Polynome

L

i

(x) :=

n

Y

j=0,j6=i

x − x

j

x

i

− x

j

, i = 0, ..., n

eine Basis von Π

n

bilden.

b) Zeigen Sie: P

ⁿ

i=0

L

i

(·) ≡ 1.

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Aufgabe 3 (5) Beim Polynomansatz p(x) =

n

P

j=0

a

j

x

^j

führt die Interpolationsaufgabe p(x

i

) = y

i

, i = 0, . . . , n, auf ein lineares Gleichungssystem V a = y mit der Vandermonde-Matrix

V (x

₀

, . . . , x

_n

) =







1 x

₀

x

²₀

· · · x

ⁿ₀

1 x

1

x

²₁

· · · x

ⁿ₁

...

1 x

_n

x

²_n

· · · x

ⁿ_n





 .

Die Determinante der Matrix V (x

0

, . . . , x

n

) ist bekannt: det V (x

0

, . . . , x

n

) = Q

1≤j<k≤n

(x

k

− x

j

).

Ausserdem werde das Knotenpolynom ω

n+1

(x) := (x − x

0

) (x − x

1

) · · · (x − x

n

) deniert.

Zeigen Sie für x 6∈ {x

₀

, . . . , x

_n

} folgende Darstellungen für das i -te Lagrangepolynom, 0 ≤ i ≤ n:

L

i

(x) = det V (x

0

, . . . , x

i−1

, x, x

i+1

, . . . , x

n

)

det V (x

0

, . . . , x

n

) = ω

n+1

(x) (x − x

i

)ω

_n+1⁰

(x

i

) .

Aufgabe 4 (5)

Betrachten Sie folgenden Datensatz

x

_i

0 1 2 4

y

_i

1 4 2 3

a) Berechnen Sie den Wert p(3) des Interpolationspolynoms p ∈ Π

3

mit Hilfe des Neville- Algorithmus.

b) Stellen Sie das Interpolationspolynom in der Newton-Darstellung auf und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

Abgabe: Mittwoch, 03.05.17, vor der Vorlesung.