Philipps-Universität Marburg Sommersemester 2017 Fachbereich Mathematik

(1)

Philipps-Universität Marburg Sommersemester 2017 Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. B. Schmitt, A. Görlich

Übungen zur Vorlesung Numerische Basisverfahren 5. Aufgabenblatt

HINWEIS: Anmeldung zur Klausur

Ab Montag, den 22.05.2017, können Sie sich im LSF/QIS-Portal für Prüfungen des ersten Prü- fungstermins an- und abmelden. Der Zeitraum wurde gegenüber der bisherigen Praxis nach hinten verlängert und endet am 06.07.2017. Für die Prüfungen des zweiten Termins (bzw. des Wiederholungstermins) werden die An- und Abmeldungen vom 28.08.2017 bis zum 07.09.2017 möglich sein.

Aufgabe 16 (3)

Bei gegebenen Koezienten a i , i = −1, . . . , n + 1, auf einem äquidistanten erweiterten Gitter ist nach (2.3.16) der Wert des Splines s(x) = P n+1

i=−1 a _i B _i (x) im Punkt x ∈ (x _j , x _j+1 ] tatsächlich gegeben durch s(x) = P j+2

i=j−1 a i B(x ˆ − x i ).

Zeigen Sie mit Formel (2.3.15) und ξ := ^x−x _h

^j

, dass diese Darstellung übereinstimmt mit s(x) = A ₀ + A ₁ ξ + A ₂ ξ ² + A ₃ ξ ³ , wobei gilt

A 0 = ¹ ₆ (a j−1 + 4a j + a j+1 ) , A 1 = ¹ ₂ (a j+1 − a j−1 ) ,

A ₂ = ¹ ₂ (a j−1 − 2a _j + a _j+1 ) , A ₃ = ¹ ₆ (a _j+2 − 3a _j+1 + 3a _j − a j−1 ) .

Aufgabe 17 (5)

Wenn man in jedem Teilintervall (x i , x i+1 ], 0 ≤ i < n, eines (äquidistanten) Gitters ∆ ein kubisches Hermite-Interpolationspolynom verwendet, erhält man insgesamt einen Spline aus S ₃ ¹ . Es sei jetzt s ∈ S ₃ ¹ deniert durch

s(x _i ) = f (x _i ), s ⁰ (x _i ) = m _i := f [x i−1 , x _i+1 ], i = 0, . . . , n,

mit Approximationen m _i an die Ableitungen f ⁰ (x _i ) . Hier wird das erweiterte Gitter ∆ = ¯ {x −1 , x ₀ , . . . , x _n , x _n+1 } verwendet. Zeigen Sie, dass der so denierte Spline s in [x ₀ , x _n ] für f ∈ C ⁴ [x −1 , x n+1 ] eine Approximation der Ordnung h ³ an f ist.

Aufgabe 18 (3)

Quadratische Splines besitzen nicht so gute Eigenschaften wie die kubischen. Gesucht ist der

Spline s ∈ S ₂ ¹ mit den Interpolationsbedingungen s(x _i ) = y _i , i = 0, . . . , n in der Beziér-Bernstein-

Darstellung mit Koezienten b ₀ , . . . , b _2n bei äquidistantem Gitter ( h _i ≡ h ).

(2)

a) Stellen Sie das (noch unterbestimmte) Gleichungssystem für die Koezienten b 2j−1 , j = 1, . . . , n , auf.

b) Ergänzen Sie dieses System durch die Zusatzbedingung s ⁰ (x ₀ ) = y ⁰ ₀ und berechnen Sie explizit den Wert b 2n−1 . Konstruieren Sie damit einen Datenvektor y = (y ₀ , . . . , y _n ) mit dem gilt |b _2n−1 | ≥ nkyk _∞ bei y ₀ ⁰ = 0 .

Aufgabe 19 (4)

1. Berechnen Sie jeweils die normalisierte Dezimaldarstellung ( B = 10 ) von (10101.101) ₂ ,

(10.101) 2 .

2. Berechnen Sie für B = 10, l = 4 bei üblicher Rundung:

(18.76 e ∗ 18.76) − e (18.66 e ∗ 18.66) (18.76 + 18.66) e e ∗ (18.76 − e 18.66)

Welcher der beiden Alternativen liefert das genauere Ergebnis und warum?

Abgabe: Mittwoch, 31.05.17, vor der Vorlesung.

Philipps-Universität Marburg Sommersemester 2017 Fachbereich Mathematik

Philipps-Universität Marburg Sommersemester 2017 Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. B. Schmitt, A. Görlich

Übungen zur Vorlesung Numerische Basisverfahren 5. Aufgabenblatt

HINWEIS: Anmeldung zur Klausur

Aufgabe 16 (3)

Bei gegebenen Koezienten a i , i = −1, . . . , n + 1, auf einem äquidistanten erweiterten Gitter ist nach (2.3.16) der Wert des Splines s(x) = P n+1

i=−1 a i B i (x) im Punkt x ∈ (x j , x j+1 ] tatsächlich gegeben durch s(x) = P j+2

i=j−1 a i B(x ˆ − x i ).

Zeigen Sie mit Formel (2.3.15) und ξ := x−x h

, dass diese Darstellung übereinstimmt mit s(x) = A 0 + A 1 ξ + A 2 ξ 2 + A 3 ξ 3 , wobei gilt

A 0 = 1 6 (a j−1 + 4a j + a j+1 ) , A 1 = 1 2 (a j+1 − a j−1 ) ,

A 2 = 1 2 (a j−1 − 2a j + a j+1 ) , A 3 = 1 6 (a j+2 − 3a j+1 + 3a j − a j−1 ) .

Aufgabe 17 (5)

Wenn man in jedem Teilintervall (x i , x i+1 ], 0 ≤ i < n, eines (äquidistanten) Gitters ∆ ein kubisches Hermite-Interpolationspolynom verwendet, erhält man insgesamt einen Spline aus S 3 1 . Es sei jetzt s ∈ S 3 1 deniert durch

s(x i ) = f (x i ), s 0 (x i ) = m i := f [x i−1 , x i+1 ], i = 0, . . . , n,

mit Approximationen m i an die Ableitungen f 0 (x i ) . Hier wird das erweiterte Gitter ∆ = ¯ {x −1 , x 0 , . . . , x n , x n+1 } verwendet. Zeigen Sie, dass der so denierte Spline s in [x 0 , x n ] für f ∈ C 4 [x −1 , x n+1 ] eine Approximation der Ordnung h 3 an f ist.

Aufgabe 18 (3)

Quadratische Splines besitzen nicht so gute Eigenschaften wie die kubischen. Gesucht ist der

Spline s ∈ S 2 1 mit den Interpolationsbedingungen s(x i ) = y i , i = 0, . . . , n in der Beziér-Bernstein-

Darstellung mit Koezienten b 0 , . . . , b 2n bei äquidistantem Gitter ( h i ≡ h ).

a) Stellen Sie das (noch unterbestimmte) Gleichungssystem für die Koezienten b 2j−1 , j = 1, . . . , n , auf.

b) Ergänzen Sie dieses System durch die Zusatzbedingung s 0 (x 0 ) = y 0 0 und berechnen Sie explizit den Wert b 2n−1 . Konstruieren Sie damit einen Datenvektor y = (y 0 , . . . , y n ) mit dem gilt |b 2n−1 | ≥ nkyk ∞ bei y 0 0 = 0 .

Aufgabe 19 (4)

1. Berechnen Sie jeweils die normalisierte Dezimaldarstellung ( B = 10 ) von (10101.101) 2 ,

(10.101) 2 .

2. Berechnen Sie für B = 10, l = 4 bei üblicher Rundung:

(18.76 e ∗ 18.76) − e (18.66 e ∗ 18.66) (18.76 + 18.66) e e ∗ (18.76 − e 18.66)

Welcher der beiden Alternativen liefert das genauere Ergebnis und warum?

Abgabe: Mittwoch, 31.05.17, vor der Vorlesung.

i=−1 a _i B _i (x) im Punkt x ∈ (x _j , x _j+1 ] tatsächlich gegeben durch s(x) = P j+2

Zeigen Sie mit Formel (2.3.15) und ξ := ^x−x _h

, dass diese Darstellung übereinstimmt mit s(x) = A ₀ + A ₁ ξ + A ₂ ξ ² + A ₃ ξ ³ , wobei gilt

A 0 = ¹ ₆ (a j−1 + 4a j + a j+1 ) , A 1 = ¹ ₂ (a j+1 − a j−1 ) ,

A ₂ = ¹ ₂ (a j−1 − 2a _j + a _j+1 ) , A ₃ = ¹ ₆ (a _j+2 − 3a _j+1 + 3a _j − a j−1 ) .

Wenn man in jedem Teilintervall (x i , x i+1 ], 0 ≤ i < n, eines (äquidistanten) Gitters ∆ ein kubisches Hermite-Interpolationspolynom verwendet, erhält man insgesamt einen Spline aus S ₃ ¹ . Es sei jetzt s ∈ S ₃ ¹ deniert durch

s(x _i ) = f (x _i ), s ⁰ (x _i ) = m _i := f [x i−1 , x _i+1 ], i = 0, . . . , n,

mit Approximationen m _i an die Ableitungen f ⁰ (x _i ) . Hier wird das erweiterte Gitter ∆ = ¯ {x −1 , x ₀ , . . . , x _n , x _n+1 } verwendet. Zeigen Sie, dass der so denierte Spline s in [x ₀ , x _n ] für f ∈ C ⁴ [x −1 , x n+1 ] eine Approximation der Ordnung h ³ an f ist.

Spline s ∈ S ₂ ¹ mit den Interpolationsbedingungen s(x _i ) = y _i , i = 0, . . . , n in der Beziér-Bernstein-

Darstellung mit Koezienten b ₀ , . . . , b _2n bei äquidistantem Gitter ( h _i ≡ h ).

b) Ergänzen Sie dieses System durch die Zusatzbedingung s ⁰ (x ₀ ) = y ⁰ ₀ und berechnen Sie explizit den Wert b 2n−1 . Konstruieren Sie damit einen Datenvektor y = (y ₀ , . . . , y _n ) mit dem gilt |b _2n−1 | ≥ nkyk _∞ bei y ₀ ⁰ = 0 .

1. Berechnen Sie jeweils die normalisierte Dezimaldarstellung ( B = 10 ) von (10101.101) ₂ ,