Philipps-Universität Marburg Sommer-Semester 2019 Fachbereich Mathematik und Informatik

Philipps-Universität Marburg Sommer-Semester 2019 Fachbereich Mathematik und Informatik

Prof. Dr. S. Dahlke, L. Sawatzki

Übungen zur Vorlesung

Numerische Behandlung elliptischer partieller Differentialgleichungen

1. Aufgabenblatt Aufgabe 1.1. (10 Punkte)

Beweise Bemerkung 1.2.1 der Vorlesung:

Der Differentialoperator

L :=

d

X

i,j=1

a ij (x) ∂ ²

∂x i ∂x j

+

d

X

i=1

a i (x) ∂

∂x i

+ a(x) ist elliptisch im Gebiet Ω ⊂ R ^d genau dann, wenn

d

X

i,j=1

a ij (x)ξ i ξ j ≥ c(x)kξk ² ₂ mit c(x) > 0 für alle x ∈ Ω, ξ ∈ R ^d .

Aufgabe 1.2. (3+3+4=10 Punkte) Beweise Lemma 1.2.4 der Vorlesung:

Seien A, B ∈ R ^d×d , Tr(A) :=

d

P

i=1

a _ii . Zeige:

(i) a ii ≥ 0 und Tr(A) ≥ 0, falls A positiv semidefinit.

(ii) Tr(A · B) = Tr(B · A) =

d

P

i,j=1

a _ij b _ji .

(iii) Tr(A · B) ≥ 0, falls A, B positiv semidefinit und symmetrisch.

Aufgabe 1.3. (6+6=12 Punkte)

(i) Betrachte den Lebesgue-Raum L p (Ω) über einer beliebigen Menge Ω ⊆ R ^d . Dazu sei kf k _L

_(Ω) :=





 R

Ω |f (x)| ^p dx 1/p

, 1 ≤ p < ∞, ess sup _x∈Ω |f (x)|, p = ∞, sowie

L p (Ω) := {f : Ω → R messbar : kf k _L

_(Ω) < ∞}.

Wir definieren jetzt eine Äquivalenzrelation für messbar Funktionen durch

f ∼ g :⇐⇒ f − g = 0 f.ü.

Damit ist der Lebesgue-Raum definiert durch

L p (Ω) := L p (Ω)/ ∼ .

Zeige, dass L _p (Ω) für alle 1 ≤ p ≤ ∞ ein Banachraum ist, d.h. k · k _L

ist eine Norm, die Elemen- te in L p (Ω) sind wohldefiniert und der Raum ist linear und vollständig. Warum ist L p (Ω) keine Banachraum?

(ii) Betrachte den Raum der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen C ^k (Ω) versehen mit der Norm kfk _C

(Ω) := X

|α|≤k

kD ^α fk _∞

und zeige, dass dies ein Banachraum ist.

Aufgabe 1.4. (2+2+2+2=8 Punkte)

Klassifiziere die folgenden partiellen Differentialgleichungen und ihre Bedingungen:

(i) Die Diffusionsgleichung

f _xx (x, t) = f _t (x, t), (x, t) ∈ Ω × (0, ∞), f (0, t) = f _x (0, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × (0, ∞), f(x, 0) = g(x), x ∈ Ω.

(ii) Die Poissongleichung

−∆f = g, in Ω, f = 0, auf ∂Ω.

(iii) Die Burgergleichung

f _t + f f _x = µf _xx in Ω × (0, ∞), f = 0 auf ∂Ω × (0, ∞), f(x, 0) = g(x) für alle x ∈ Ω.

(iv) Die Schwingungsgleichung

T ₀ f xx = ρf tt − g(x, t) in Ω × (0, ∞), T ₀ , ρ > 0, f (x, 0) = φ(x), f t (x, 0) = ϕ(x), für alle x ∈ Ω.

Abgabe: 02.05.19, vor der Vorlesung