Übungen zur Vorlesung

Philipps-Universität Marburg Sommer-Semester 2019 Fachbereich Mathematik und Informatik

Prof. Dr. S. Dahlke, L. Sawatzki

Übungen zur Vorlesung

Numerische Behandlung elliptischer partieller Differentialgleichungen

3. Aufgabenblatt Aufgabe 3.1. (10 Punkte)

(i) Es sei (X, k · k _X ) ein normierter linearer Raum mit Dualraum X ⁰ = L(X, R ). Zeige: X ⁰ ist ein Banachraum mit Norm kx ⁰ k X

:= sup _06=x∈X ^|x _kxk

^(x)|

X

.

(ii) Sind (X, k · k X ) und (Y, k · k Y ) Banachräume und X stetig und dicht in Y eingebettet, so ist Y ⁰ stetig in X ⁰ eingebettet.

(iii) Es seien (X, k · k X ) und (Y, k · k Y ) Hilberträume und X sei stetig und dicht in Y eingebettet. Zeige, dass dann Y ⁰ stetig und dicht in X ⁰ eingebettet ist.

Aufgabe 3.2. (10 Punkte)

Beweise Lemma 2.3.2 der Vorlesung:

Es seien (X, k · k X ) und (Y, k · k Y ) normierte Räume und T ∈ L(X, Y ). Zeige: Für jedes y ⁰ ∈ Y ⁰ wird durch die Beziehung

hT x, y ⁰ i Y ×Y

= hx, x ⁰ i X×X

, für alle x ∈ X,

ein eindeutiges x ⁰ ∈ X ⁰ definiert. Für die so wohldefinierte Abbildung T ⁰ : y ⁰ 7→ x ⁰ gilt: T ⁰ ∈ L(Y ⁰ , X ⁰ ) mit |||T ⁰ ||| = |||T|||.

Aufgabe 3.3. (10 Punkte)

Beweise Lemma 2.5.4 aus der Vorlesung:

Es sei V ein Hilbertraum. Zeige:

(i) A ∈ L(V, V ⁰ ) gehört genau dann zu einer stetigen Bilinearform a : V × V → R , d.h.

a(x, y) = hAx, yi _V

_×V , x, y ∈ V, wenn A ⁰ zu a ^∗ (x, y) = a(y, x) gehört.

(ii) Ist a eine symmetrische stetige Bilinearform, so gilt A = A ⁰ . Aufgabe 3.4. (10 Punkte)

Es seien (U, k · k U ) und (V, k · k V ) Hilberträume, die einen Gelfand-Dreier bilden, d.h., V ⊂ U ⊂ V ⁰

mit stetigen und dichten Einbettungen. Weiter sei T ∈ L(V ⁰ , V ). Zeige:

(i) T gehört auch zu L(V ⁰ , V ⁰ ), L(U, U ), L(V, V ) und L(U, V ).

(ii) Ist die Einbettung V ⊂ U kompakt, so sind T ∈ L(V ⁰ , V ⁰ ), T ∈ L(U, U ), T ∈ L(V, V ), T ∈ L(V ⁰ , U ) und T ∈ L(U, V ) kompakt.

Abgabe: 30.05.19, vor der Vorlesung