Aufgabe VI.2 (5 Punkte) Die Funktionf:Rn→Rsei definiert durch f(x

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Sommersemester 2010 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zur Analysis II¨ Blatt VI vom 20. Mai 2010¹

(Abgabe bis Donnerstag, 27. Mai, 10 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors) Bemerkung:Vereinbarungsgem¨aß bezeichnetkxkdie Euklidische Normkxk₂ f¨urx∈Rⁿ.

Aufgabe VI.1 (5 Punkte)

Berechnen Sie die Richtungsableitungen der folgenden Funktionen an den Stellenξin den Richtungen _kvk^v . Bestimmen Sie auch die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion an der Stelleξ.

a)f:R² →R, x7→sin(x₁x₂), ξ = (1,0), v=

1 2,

√ 3 2

. b) f:R³ →R, x7→exp(x1x2x3), ξ = (1,1,1), v= (1,2,−1).

Aufgabe VI.2 (5 Punkte)

Die Funktionf:Rⁿ→Rsei definiert durch f(x) =

(kxk²sin

1 kxk

, fallsx6= 0,

0, fallsx= 0.

Beweisen Sie, dass f im Nullpunkt differenzierbar ist und dass dennoch alle partiellen Ableitungen dort unstetig sind.

Aufgabe VI.3 (5 Punkte)

Seip:R² →R² definiert durch p(r, ϕ) = (rcosϕ, rsinϕ) und weiterhin sei f(r, ϕ) =F(p(r, ϕ))

f¨ur eine zweimal stetig differenzierbare FunktionF:R²→R. Beweisen Sie:

∆F := ∂²F

∂x²₁ +∂²F

∂x²₂ = ∂²f

∂r² +1 r

∂f

∂r + 1 r²

∂²f

∂ϕ². Aufgabe VI.4 (5 Punkte)

a) Sei G: R → R zweimal stetig differenzierbar und g(x) = G(kxk) f¨ur x ∈ Rⁿ. Beweisen Sie:

∆g(x) =G⁰⁰(kxk) +n−1

kxk G⁰(kxk) auf Rⁿ\ {0}.

b) Sei die Funktion²N_y:Rⁿ\{y},n >2,y ∈Rⁿ, definiert durchN_y(x) =kx−yk²⁻ⁿ. Beweisen Sie:

∆N_y(x) = 0 auf Rⁿ\ {y}.

1Version 2, 22.05.10

2Bis auf einen konstanten Faktor ist dies das sogenannteNewton-Potential.