November 2011, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors) Aufgabe VI.1 (5 Punkte) a) Seiu: [0,∞)×Rd→Reine L¨osung des Anfangswertproblems (∂tu(t, x)−∆u(t, x

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen¨ Blatt VI vom 17. November 2011

(Abgabe bis Freitag, 25. November 2011, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors) Aufgabe VI.1 (5 Punkte)

a) Seiu: [0,∞)×R^d→Reine L¨osung des Anfangswertproblems (∂_tu(t, x)−∆u(t, x) = 0 f¨ur (t, x)∈(0,∞)×R^d,

u(0, x) = 0 f¨urx∈R^d. (1.1)

Finden Sie alleλ, µ >0 derart, dass

v_µ,λ(t, x) =u(λt, µx) ebenfalls eine L¨osung von (1.1) ist.

b) Sei Φ : (0,∞)×R^d→(0,∞) definiert durch

Φ(t, x) = (4πt)^−d/2exp_|x|2

4t

. Zeigen Sie:

(i) ∂tΦ−∆Φ = 0 auf (0,∞)×R^d. (ii)

Z

R^d

Φ(x, t) dx= 1 f¨ur jedes t∈(0,∞).

Aufgabe VI.2 (5 Punkte)

L¨osen Sie die folgenden beiden Anfangswertprobleme:

(∂_tu(t, x) =∂_x²u(t, x) f¨ur (t, x)∈(0,∞)×R,

u(0, x) =e^−x2 f¨urx∈R. (2.1)

(∂_tu(t, x) =∂²_xu(t, x) +u(t, x) f¨ur (t, x)∈(0,∞)×R,

u(0, x) =e^−x2 f¨urx∈R. (2.2)

Hinweis zu (2.2): Substituieren Sie v(t, x) =u(t, x)e^−tund f¨uhren Sie das Problem auf die L¨osung von (2.1) zur¨uck.

Aufgabe VI.3 (5 Punkte)

Zeigen Sie, dass es zu jeder beschr¨ankten Funktion f ∈ C(R) eine Folge (fn)n∈N in C^∞(R) gibt, sodass f¨ur alle a, b∈Rmita < b gilt:

sup

x∈[a,b]

|f_n(x)−f(x)|−−−→^n→∞ 0.

Hinweis: Betrachten Sie das Problem

(∂_tu(t, x) =∂_x²u(t, x) f¨ur (t, x)∈(0,∞)×R, u(0, x) =f(x) f¨urx∈R,

und setzen Siefn(x) =u _n¹, x .

Aufgabe VI.4 (5 Punkte)

Seien u₁, . . . , u_d: (0,∞)×R→RL¨osungen der Gleichung

∂_tu=∂_x²u auf (0,∞)×R.

Zeigen Sie, dassU: (0,∞)×R^d →R definiert durch U(t, x) =

d

Y

i=1

u_i(t, x_i) eine L¨osung der Gleichung

∂tU−∆U = 0 auf (0,∞)×R^d ist.

L¨osen Sie damit und mit Hilfe der L¨osung von (2.1) das Anfangswertproblem (∂_tv(t, x) = ∆v(t, x) f¨ur (t, x)∈(0,∞)×R^d,

v(0, x) =e^−|x|2 f¨urx∈R^d.

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