November, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors) Aufgabe V.1 (2+2 Punkte) Gesucht wird eine L¨osung u: (0,∞)×R→R, (t, x)7→u(t, x) des folgenden Problems: ∂t2u=c2∂x2u, u(0

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen¨ Blatt V vom 10. November 2011

(Abgabe bis Freitag, 18. November, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors)

Aufgabe V.1 (2+2 Punkte)

Gesucht wird eine L¨osung u: (0,∞)×R→R, (t, x)7→u(t, x) des folgenden Problems:

∂_t²u=c²∂_x²u, u(0,·) =g(·), ∂_tu(0,·) =h(·). (1) Hierbei sind g∈C²(R), h∈C¹(R) und c >0.

a) Berechnen Sie eine L¨osungsformel f¨ur das obige Problem analog dem Vorgehen aus der Vorlesung.

b) Bestimmen Sie f¨ur die Punkte x1 = 3, x2 = 9 undx3 =−4 jeweils das gr¨oßtm¨og- liche T > 0 derart, dass f¨ur jede Wahl von g und h mit g(x) =h(x) = 0 f¨ur alle

|x| ≥1 gilt:u(t, xi) = 0 f¨ur allet∈[0, T].

Aufgabe V.2 (2+2 Punkte)

Wir betrachten das Problem (1) aus Aufgabe V.1 f¨ur u : (0,∞)×[0,2π] → R mit der zus¨atzlichen Randbedingung u(t,0) = u(t,2π) = 0. Bestimmen Sie zu gegebenen Anfangswerten durch Trennung der Variablen

u(t, x) =w(t)v(x)

eine L¨osung des obigen Problems in den folgenden F¨allen:

a) g: [0,2π]→R,g(x) = sin(nx),n∈N, undh: [0,2π]→R, h(x) = 0.

b) g: [0,2π]→R, g(x) = 0, undh: [0,2π]→R,h(x) = sin(nx),n∈N.

Aufgabe V.3 (3+3 Punkte)

Seien d ≥ 2, g ∈ C²(R^d) und h ∈ C¹(R^d). Sei u ∈ C²([0,∞)×R^d) eine L¨osung des Problems







∂_t²u−∆u= 0 in (0,∞)×R^d u(0,·) =g aufR^d

∂tu(0,·) =h aufR^d. F¨urx∈R^ddefiniere U^x: [0,∞)×(0,∞)→Rdurch

U^x(t, r) =

∂Br(x)

u(t, y)dO(y).

Zeigen Sie, dass f¨urx∈R^d gilt:

a) U^x∈C²([0,∞)×[0,∞))

b) ∂²_tU^x−∂_r²U^x−^d−1_r ∂rU^x= 0 auf (0,∞)×(0,∞) Hinweis:

(1) Zur Berechnung von ∂_rU^x betrachten Sie am besten den Beweis der Mittelwertei- genschaft harmonischer Funktionen.

(2) Verwenden Sie

r^1−d∂_r(r^d−1∂_rU^x) = ^d−1_r ∂_rU^x+∂²_rU^x.

Aufgabe V.4 (6 Punkte)

Seien F :R → R und g : R → R. Eine Funktion u ∈ L^∞((0,∞)×R) heißt schwache L¨osung von

(∂_tu+∂_x(F(u)) = 0 in (0,∞)×R

u(0,·) =g aufR,

falls f¨ur jede Testfunktionϕ∈C^∞([0,∞)×R) mit kompaktem Tr¨ager gilt:

ˆ ∞ 0

ˆ

R

u(t, x)∂_tϕ(t, x) +F(u(t, x))∂_xϕ(t, x)

dx dt=− ˆ

R

g(x)ϕ(0, x)dx.

Seien nunF :R→R,F(p) = ^p₂² undg:R→R, g(x) =







1, x≤0

1−x, 0< x≤1 0, x >1. Zeigen Sie, dass in diesem Fall die f¨ur 0< t≤1 durch

u(t, x) =







1, x≤t

1−x

1−t, t < x≤1

0, x >1

und f¨urt >1 durch

u(t, x) =

(1, x≤ ^t+1₂ 0, x >^t+1₂

gegebene Funktionu: (0,∞)×R→Reine schwache L¨osung ist.

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