Aufgabe IX.2 (2+2+2 Punkte) Seien u∈Cc∞(R),u6≡0 und f¨urn∈Nun∈Cc∞(R),un(x) =u(x+n)

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen¨ Blatt IX vom 8. Dezember 2011

(Abgabe bis Freitag, 16. Dezember, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors)

Aufgabe IX.1 (5 Punkte)

Bestimmen Sie gr¨oßtm¨ogliche IndexmengenP ⊂[1,∞], M ⊂N, K ⊂Nderart, dass f¨ur jede Funktion u∈C^∞([0,1]) undu: (−1,1)→R, gegeben durch

u(x) =

(−3u(−x) + 4u(−^x₂) f¨ur−1< x <0 u(x) f¨ur 0≤x <1

gilt: u∈C^k((−1,1)), u∈W^m,p((−1,1)) f¨ur alle k∈K,m∈M und p∈P. Aufgabe IX.2 (2+2+2 Punkte)

Seien u∈C_c^∞(R),u6≡0 und f¨urn∈Nu_n∈C_c^∞(R),u_n(x) =u(x+n). Zeigen Sie:

a) Die Folge (u_n) ist beschr¨ankt in W^1,p(R) f¨ur jedesp≥1.

b) Zu keinem q≥1 existiert eine Teilfolge (unk), welche stark inL^q(R) konvergiert.

c) Jedoch gilt f¨ur jedesϕ∈C_c^∞(R):

ˆ

R

u_nϕ dx→0 und ˆ

R

u⁰_nϕ dx→0 f¨urn→ ∞. (1) Bemerkung: Falls 1 < p < ∞, so bedeutet (1), dass die Folge (u_n) schwach in W^1,p(R) gegen Null konvergiert.

Aufgabe IX.3 (2+2 Punkte)

Seien G ∈ C¹(R) mit G(0) = 0 und kG⁰k_L∞(R) < ∞. Seien 1 ≤ p ≤ ∞, Ω ⊂ R^d ein beschr¨anktes Gebiet undu∈W^1,p(Ω). Zeigen Sie:

a) G◦u∈W^1,p(Ω)

b) ∂i(G◦u) = (G⁰◦u)∂iu f¨uri= 1, . . . , d.

Diskutieren Sie außerdem die Notwendigkeit der BedingungG(0) = 0.

Aufgabe IX.4 (5 Punkte)

Seien 1≤p <∞ undu∈W^1,p((a, b)). Zeigen Sie:

u∈W₀^1,p((a, b))⇐⇒(u(a) =u(b) = 0).

Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe IX.3 mit Ω = (a, b). Betrachten Sie hierzu eine Folge (un) mit un(x) = _n¹G(nu(x)), wobeiG∈C¹(R) eine geeignete Funktion ist mit

G(t) =







0 falls|t| ≤1 g(t) falls 1<|t|<2 t falls|t| ≥2, und |G(t)| ≤ |t|f¨ur jedest∈R.