Januar, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors) Aufgabe XIII.1 (5 Punkte) Hans Mathechef glaubt, dass Maximumprinzip verstanden zu haben

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen¨ Blatt XIII vom 19. Januar 2012

(Abgabe bis Freitag, 27. Januar, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors)

Aufgabe XIII.1 (5 Punkte)

Hans Mathechef glaubt, dass Maximumprinzip verstanden zu haben. Er stellt seinen KommilitonInnen gegen¨uber folgende Behauptung auf:

Behauptung:SeienA= (a_ij) eine positiv definite Matrix,λ >0,r >0 undu∈H¹(B) erf¨ulle inB=Br(0)⊂R^d

−∂_ia_ij∂_ju+λu≤0.

Dann gilt sup

B

u≤sup

∂B

u.

Warum ist diese Behauptung nicht korrekt?

Aufgabe XIII.2 (2+2+1 Punkte)

a) Bestimmen Sie das gr¨oßtm¨ogliche IntervallI ⊂Rderart, dass f¨urp∈I die Funk- tionx7→ |x|^p zu W^2,2(B) mit B =B1(0)⊂R^d geh¨ort.

b) Geben Sie Funktionen aij : B → R derart an, dass (aij(x)) gleichm¨aßig positiv definit f¨urx∈B ist und f¨uru:B →R,u(x) =|x|^p,p∈I, gilt

aij(x)∂i∂ju(x) = 0 f¨urx∈B.

c) Was lernen Sie hieraus im Hinblick auf Maximumprinzip und Eindeutigkeit?

Aufgabe XIII.3 (5 Punkte)

Seien H ein Hilbertraum und A : H → H ein linearer beschr¨ankter und kompakter Operator. Der adjungierte OperatorA^∗ :H →H sei ¨uber

hAu, vi_H =hu, A^∗vi_H ∀u, v∈H definiert. Zeigen Sie, dass auchA^∗ kompakt ist.

Aufgabe XIII.4 (2+3 Punkte)

Wir betrachten im Folgenden den sog. biharmonischen Operator ∆² = ∆◦∆ auf der Einheitskugel B⊂R^d.

a) Formulieren Sie, was es bedeutet, dass eine Funktion u : B → R im schwachen Sinne

∆²u= 0 inB erf¨ullt.

b) Unter welchen Voraussetzungen an die Funktion f :B →Rist das Problem







∆²u=f inB u= 0 auf∂B

∂u

∂ν = 0 auf∂B eindeutig l¨osbar? Beweisen Sie Ihre Behauptung.

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