Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis Blatt VIII vom 30. November 2012
Abgabe bis Freitag, 07.12.12, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors (V3-128)
Aufgabe VIII.1 (5 Punkte)
a) Die Funktionf:R2→R sei definiert durchf(x, y) = (x2+y3)exy. Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung vonf.
b) Die Funktion g: R3 → R sei definiert durch g(x, y, z) = x2yzsin(2x+y+ 3z).
Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f.
c) Die Funktionp:R2\{0} →Rsei definiert durchp(x, y) = lnp
x2+y2
. Rechnen Sie nach, dass∂1∂1f(x0, y0) +∂2∂2f(x0, y0) = 0 an jeder Stelle (x0, y0)∈R2.
Aufgabe VIII.2 (5 Punkte)
Die Funktionf:R2 →R sei definiert durch
f(x, y) =
(xyxx22−y+y22 f¨ur (x, y)6= (0,0), 0 f¨ur (x, y) = (0,0).
Weisen Sie nach, dass∂1f(0, y) =−yf¨ur jedesy∈Rund∂2f(x,0) =xf¨ur jedesx∈R.1 Zeigen Sie damit, dass
∂2∂1f(0,0) =−1, aber ∂1∂2f(0,0) = 1.
In dieser Situation spielt also die Reihenfolge der Differentiation sehr wohl eine Rolle.
Aufgabe VIII.3 (5 Punkte)
Diese Aufgabe lehrt, dass die Existenz aller Richtungsableitungen nicht hinreichend f¨ur die Stetigkeit oder gar Differenzierbarkeit einer Funktion ist.
Seif:R2→R gegeben durch
f(x, y) = ( x2y
x4+y2, falls (x, y)6= (0,0), 0, falls (x, y) = 0.
Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen vonf im Punkt (0,0) existieren. Weisen Sie nach, dass f im Punkt (0,0) nicht stetig (und daher auch nicht differenzierbar) ist.
Aufgabe VIII.4 (5 Punkte)
a) Linearisieren Sie die Funktion f: R2 → R, f(x, y) = x2 + 2 cos(y) im Punkt (−2,32π).
b) Linearisieren Sie die Funktion g:R2 →R,g(x, y) =e2x−y im Punkt (1,2).
1Beachten Sie, dass hierzu eine Fallunterscheidung notwendig ist.
