Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Sommersemester 2010 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zur Analysis II¨ Blatt V vom 13. Mai 2010
(Abgabe bis Donnerstag, 20. Mai, 10 Uhr im Postfach Ihrer Tutorin/Ihres Tutors)
Aufgabe V.1 (6 Punkte)
Sei (X, d) ein metrischer Raum. F¨urx∈X undA⊂X setzen wir d(x, A) = inf
y∈Ad(x, y), sowie f¨urA, B⊂X
d(A, B) = inf
x∈A,y∈Bd(x, y).
a) Zeigen Sie, dass die Abbildung x7→d(x, A) f¨ur jedes A⊂X stetig ist.
b) Zeigen Sie, dass d(A, B) = 0 f¨ur zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen A, B⊂X gelten kann.
c) Hans Mathechef behauptet, dass unter den Voraussetzungen von Teilaufgabe b) d(A, B)>0 gelten muss, falls er zus¨atzlich annimmt, dass eine der beiden Mengen kompakt ist. Hat er Recht?
Aufgabe V.2 (4 Punkte)
Sei die Funktionf:R2→R definiert durch
f(x, y) = ( x
1x2
x21+x22, falls (x1, x2)6= (0,0), 0, falls (x1, x2) = (0,0).
Beweisen Sie:f ist auf R2 partiell differenzierbar ist, jedoch im Punkt (0,0) nicht stetig.
Aufgabe V.3 (5 Punkte)
Betrachten Sie die Funktionf :R2\ {0} →Rdefiniert durch f(x) =f(x1, x2) = x21x22
x21x22+ (x1−x2)2. Beweisen Sie:
a) lim
x1→0
xlim2→0f(x1, x2)
= lim
x2→0
xlim1→0f(x1, x2)
= 0.
b) lim
x→0f(x1, x2) existiert nicht.
Aufgabe V.4 (5 Punkte)
Skizzieren Sie f¨ur die folgenden Funktionen f:R2 →Rdie Niveaulinien {(x1, x2)|f(x1, x2) =c}, c∈
±12,±1,±2
sowie die vier Gradienten an den Stellenx1=±1 auf den Niveaulinien f¨urc= 12. a) f(x1, x2) = 2−x21−x22
b) f(x1, x2) =x21−x22
2
