November 2012 Abgabe bis Freitag Uhr im Postfach Ihres Tutors (V3-128) Aufgabe V.1 (5 Punkte) Zwei Vogelschw¨arme A und H fliegen jeweils geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis Blatt V vom 9. November 2012

Abgabe bis Freitag, 16.11.12, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors (V3-128) Aufgabe V.1 (5 Punkte)

Zwei Vogelschw¨arme A und H fliegen jeweils geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.

Auf einem Radarschirm¹ hat Schwarm A zum ersten Beobachtungszeitpunkt die Positi- on (in Polarkoordinaten)A1 = (4√

5; 26,57^◦) und nach 900 Sekunden die PositionA2= (6,5; 22,62^◦). Gleichzeitig hat Schwarm H zum ersten Beobachtungszeitpunkt die Posi- tion H₁ = (2√

5; 116,57^◦) und nach 600 Sekunden die Position H₂ = (√

10; 108,44^◦).

Die verwendete L¨angeneinheit ist dabei cm und der Maßstab betr¨agt 1 : 400.000.

a) Zeichnen Sie die Flugrouten der beiden Schw¨arme in ein x, y-Koordinatensystem ein. W¨ahlen Sie f¨ur die Zeichnung 1 L¨angeneinheit = 1 cm.

b) Berechnen Sie die Geradengleichungen der Flugrouten.

c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der beiden Schw¨arme unter Beachtung des an- gegebenen Maßstabs.

d) Die beiden Schw¨arme fliegen auf gleicher H¨ohe. Wo kreuzen sich die Flugrouten?

Aufgabe V.2 (5 Punkte)

Wir betrachten eine Ellipse in folgender Parameterdarstellung:

f : [0,2π]→R², f(t) = 2 cos(t),sin(t) . a) Skizzieren Sie die Ellipse in einem x, y-Koordinatensystem.

b) Zeichnen Sie die Tangente an die Ellipse f¨urt= ^π₄ undt=π.

c) Seien a, b ∈ R mit a < b. F¨ur eine differenzierbare Funktion g : [a, b] → R², t7→(g1(t), g2(t)), definieren wir die Funktiong⁰: (a, b)→R² durch

g⁰(t) = (g⁰₁(t), g⁰₂(t)).

F¨urt∈(a, b) heißtg⁰(t) Tangentenvektor von g im Punktt.

Berechnen Sie den Tangentenvektor vonf in den Punktent= ^π₄ und t=π.

Aufgabe V.3 (5 Punkte)

Bestimmen Sie die L¨ange der folgenden Kurven.

a)f : [0,2π]→R², f(t) = e^tcos(5t), e^tsin(5t)

b) f : [0,2π]→R³, f(t) = cos(4t),sin(4t), t c)f : [0,2]→R², f(t) = t³,³₂t−₁₀³ t⁵

1Wir nehmen hierbei an, dass es sich um einx, y-Koordinatensystem handelt.

Aufgabe V.4 (5 Punkte)

a) Ordnen Sie den folgenden Funktionen f :R→R² die entsprechenden Kurven zu.

i)f(t) = tcos(t), tsin(t)

ii) f(t) = cos(2t) cos(t),cos(2t) sin(t) iii)f(t) = (1 + cos(t)) cos(t),(1 + cos(t)) sin(t)

Bild 1 Bild 2

Bild 3

b) Geben Sie f¨ur die nachfolgenden Kurven jeweils eine Polardarstellungr(ϕ) an, d.h.

eine Funktionr : [α, β]→[0,∞), wobeiα und β vorgegeben sind.

(α= 0, β= ^π₄) (α= 0, β =π)

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