at Karlsruhe SS2004
Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Prof. Dr. Peter Wole, Dr. Jan Brinkmann 12.05.04
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre janbritkm.uni-karlsruhe.de /Physikhohh.Zi.10.13
Ubungsblatt Nr. 4 zur Theorie F (Statistishe Physik)
1 Ideales Gas aus zweiatomigen Molekulen:
Ein Gas aus N Molekulen im Volumen V besitzt Shwingungs-, Rotations- und Transla-
tionsfreiheitsgrade. Es ist an ein Warmebad der Temperatur T angekoppelt (kanonishe
Gesamtheit).
a) Die Shwingungsenergie eines Molekulsist E osz
n
=h!
0 (n+
1
2
) ; n=0;1;2;:::.
Wodurh sind dieMikrozustande der Shwingungsbewegung des Gases festgelegt?
Berehnen SiedieZustandssumme Z osz
, dieinnere EnergieU osz
und diespez. Warme
osz
V
des Gases. Geben Sie das asymptotishe Verhalten von osz
V
an fur T ! 0 und
T !1.
b) Die Rotationsenergie eines Molekulslautet E rot
l
= h 2
2I
l(l+1) ; l =0;1;2;::: ;
I =Tragheitsmoment. WiesinddieMikrozustandedesGasesfestgelegt?(Entartung!)
Geben Sie dieZustandssumme Z rot
des Gases an, und berehnen Sie U rot
und rot
V fur
T !0und T !1.
Ergebnis:
rot
V j
T!0
=3Nk(h 2
=I) 2
exp ( h 2
=I), rot
V j
T!1
=Nk[1+ 1
45 (h
2
=2I) 2
℄.
Hinweis: T !0: ln(Z)in exp ( h 2
=2I) entwikeln.
T !1: ln(Z) inh 2
=2I entw., uber P
1
l =0
f(l)' R
1
0
dxf(x)+ f(0)
2 f
0
(0)
12 +
f 000
(0)
720 .
) Geben Sie U trans
und trans
V
der Translationsbewegung an.
BegrundenSie:
V
= osz
V +
rot
V +
trans
V .
2 Modell eines Gummimolekuls:
Ein Polymermolekul bestehe aus N Kettengliedern, die unabhangig voneinander gestrekt
( )oder geknikt (^)sein konnen.KnikeneinesGliedes verkleinertdieGesamtlangeLder
Kette und kann Energiekosten oder freisetzen.Also istgegeben:
Energie pro Kettenglied: " bzw. "
^
,Lange eines Gliedes: l bzw. l
^
<l .
a) Es wirke die
auere Kraft K entlang der Molekulahse. Bestimmen Sie die Zustands-
summe der kanonishen Drukgesamtheit Z(T;N;K)= X
Zustande e
(E
KL
)
.
Hinweis: Entartungder Mikrozustande!Binomisher Satz.
b) Berehnen Sie die freie Enthalpie G(T;N;K) = kT ln(Z) und daraus die mittle-
re Lange L. Welhes Vorzeihen hat der thermishe AusdehnungskoeÆzient =
L
T
K=0
fur " <"
^
bzw. " >"
^
?
) Es sei nun L = onst: festgehalten (kanonishe Gesamtheit). Bestimmen Sie die Zu-
standssumme Z(T;N;L)= X
e E
und diefreie Energie F(T;N;L).
Hinweis: L=onst:ist eineRandbedingung andieMikrozustande ;Stirling-Formel.
d) Berehnen Siedie mittlereKraft K(T;N;L).
Hinweis: Esgilt dU =T dS+KdL ) dF =:::.
