Freie Universit¨at Berlin WS 2005/2006
Fachbereich Physik 25.01.2006
Statistische Physik - Theorie der W¨ arme
(PD Dr. M. Falcke)
Ubungsblatt 12: ¨ Ferromagnet
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Ein ferromagnetisches System ausN Spins kann bei tiefen Temperaturen durch die freie Energie F=N
a 2m2+b
4m4−hm
modelliert werden. Hierbei istmdie Magnetisierung undhein externes magnetisches Feld. Bezeichne TC die kritische Temperatur, dann ista(T) =a0(T−TC)/TC. Des weiteren seiena0, b∈R+.
a. Skizzieren SieF(m) f¨ur die drei F¨alleT > TC,T =TC undT < TCbei h= 0.
b. Berechnen Sie m(T) f¨urh= 0, indem Sie die freie Energie minimieren.
c. Berechnen Sie die Entropie S(T) und die W¨armekapazit¨atCV(T) f¨ur h= 0 und skizieren Sie CV(T).
d. Berechnen Sie die magnetische Suszeptibilit¨atχ= (∂m/∂h)h=0.
e. Diskutieren Sie graphisch die Abh¨angigkeit der Magnetisierungmvom externen Feld hf¨ur die drei F¨allea <0,a= 0 unda >0.
Aufgabe 2 (7 Punkte)
In einer Kette ausN Spins m¨ogen nur die direkt benachbarten Spins miteinander wechselwirken. Ein solches System wird durch den Hamiltonoperator
H=−
N−1
X
i=1
Jisisi+1
beschrieben, wobeiJi die platzabh¨angige St¨arke der Wechselwirkung undsi=±1 ist.
a. Berechnen Sie die kanonische Zustandsumme. Beweisen Sie dazu, dassZN = 2 cosh(βJN−1)ZN−1
gilt. Werten Sie die Zustandsumme f¨ur konstantesJ aus, d.h.Jl=Jk f¨url6=k.
b. Berechnen Sie die freie Energie f, die Entropie s, die spezifische W¨arme cV und die innere Energie upro Teilchen im thermodynamischen LimesN → ∞f¨ur konstantesJ.
c. Zeigen Sie, dass der dritte Hauptsatz erf¨ullt ist.
d. Die Korrelationsfunktion G(i, n) := hsisi+nicharakterisiert den Zerfall der Spinkorrelation als Funktion des Abstandes n. Berechnen SieG(i, n) und zeigen Sie dazu zun¨achst, dass
G(i, n) = 1 ZN
"i+n−1
Y
k=i
∂
∂βJk
# ZN.
e. Werten Sie die Korrelationsfunktion f¨ur konstantesJ aus und zeigen Sie, dass Gexponentiell abf¨allt, i.e.G(i, n) = exp(−n/ξ). Hierbei bezeichnetξdie Korrelationsl¨ange. Berechnen Sieξin f¨uhrender Ordnung f¨ur kleine Temperaturen.
Abgabetermin:Mittwoch, 01.02.2006 vor Beginn der Vorlesung.
